李超代数的非齐次微分算子表示

Differential-operator representations or oscillator representations in physics of Lie (super) algebras have broad applications in many fields of mathematics and physics, due to their neat and beautiful formulas. Inhomogeneous differential-operator representations have connections with more mathematical objects and symmetries in physics,such as projective transformations,conformal transformations and algebraic varieties etc. In this project, we want to further investigate inhomogeneous differential-operator representations of Lie superalgebras, in particular,supersymmetric projective differential-operator representations and conformal differential-operator representations. From application point of view, these representations can be used to describe dynamic symmetries.

李(超)代数的微分算子表示, 物理上称为oscillator 表示，因其公式的简洁、优美，在数学和物理的许多领域有着广泛的应用。而非齐次微分算子表示还与更多的数学对象和物理的对称性有联系, 如射影变换、共形变换和代数簇等。本项目是要在申请人已有的有关李代数微分算子表示方面工作基础上进一步研究李超代数的非齐次微分算子表示，特别是超对称的射影微分算子表示和共形微分算子表示。从应用角度，这些表示可用来描述动力学对称性。

李群是对称的流形，而李代数是它的局部结构，许多物理学家称它为“小群”。两者通过指数映射相联系。复数域上的有限维半单李代数的有限维不可约表示的抽象理论由E.Cartan和H.Weyl等人完成。然而，人们对自然的显式表示还不甚了解。 Gervais和Sakita发现的与李代数阶化匹配的超对称性首先出现在1971年早期的弦理论内容中。在本项目的资助下，我们取得了以下成果：1、出版专著一部《Representations of Lie Algebras and Partial Differential Equations》，620页。本书主要阐述本人及与前学生在有限维单李代数的显式表示，相关的偏微分方程、线性正交编码、组合和代数簇方面的研究成果。还包含了本人以下新取得的成果：构造和证明了G2型单李代数的共形微分算子不可约表示，发现了E6型单李代数的不可约表示与正则组合和代数簇的直接联系。2、发表论文 《Representations of E7, equivalent combinatorics and algebraic varieties》，该文发现了E7型单李代数的不可约表示与正则组合和代数簇的直接联系。3、发表论文《 Conformal oscillator representations of orthosymplectic Lie superalgebras》, 该文把从共形变换导出的正交李代数的非齐次单参数(c)族一阶微分算子表示推广到正交辛李超代数的表示并确定了不可约的条件。4、与陈凌合作接受发表论文《Projective oscillator representations of sl(n+1|m) and osp(m|n+1)》，该文通过类比我之前在特殊线性李代数和辛李代数的射影微分算子表示方面的工作，研究了特殊线性李超代数和正交辛李超代数在超对称多项式函数空间和超对称指数多项式函数空间上的各种非齐次偏微分算子表示。5、已完成论文《Singular conformal oscillator representations of orthosymplectic Lie superalgebras》，该文处理成果3中不可约条件不满足的情形。这些成果对数学、物理乃至工程的对称性研究有用。