流形上的调和形式

Harmonic forms on manifolds is an important tool to study geometric and topological properties of manifolds. We plan to study from the following three aspects: J-invariant cohomological groups on four-dimenisonal almost complex manifolds，L^2 harmonic forms on complete manifolds and cohomologial groups on odd dimenisonal symplectic manifolds. We will discuss the following problems: (1) Donaldson question with most generalized case and the existence of solutions of Donaldson-type Calabi-Yau equation on closed four-dimensional symplectic manifolds;(2) refined Kato inequalities for L^2 harmonic forms on complete symplectic manifolds, vanishing theorems and finiteness of dimension of the space of L^2 harmonic 1-forms on complete noncompact submanifolds in spheres; (3) properties of basic Laplacian operations on five-dimenisonal contact manifolds, in particular, description of the space of J-invariant basic 2-forms and stability of dimension of J-invariant basic cohomology groups; decomposition of basic cohomology groups on contact manifolds; set up generalized Calabi-Yau equation on five-dimensional K-contact manifolds and discuss the existence of its solutions.

流形上的调和形式是研究流形的几何与拓扑性质的重要工具。我们拟从如下三个方面开展研究：四维殆复流形上的J-反变上同调群、完备流形上L^2调和形式、奇数维辛流形上的上同调群。拟研究如下问题：(1) 四维闭辛流形上在最一般情形下的Donaldson问题和Donaldson型Calabi-Yau方程解的存在性；(2) 完备辛流形上L^2调和形式的精细Kato不等式以及球面中完备非紧子流形的消灭定理和L^2调和1-形式所构成空间的维数的有限性；(3) 五维切触流形上基本Laplace算子的特性，特别是关于J-反变基本2-形式构成的集合的刻画和J-反变基本上同调群维数的稳定性等；切触流形的基本上同调群的分解；建立紧五维K-切触流形上的广义Calabi-Yau方程并探讨其解的存在性。

本项目借助于流形上的调和形式主要研究了四维殆复流形上的J-反变上同调群、完备流形上L^2调和形式构成空间的维数、奇数维辛流形上的同调群等。 我们计算了四维环面上的J反变上同调群的维数，受此启发得到了四维闭辛流形（M，ω）上，几乎所有的ω-相容的近复结构J，有J反变上同调群的维数为零。运用该结果可以得到Donaldson问题在 b^+=1 时是正确的。 我们证实如果L^p泛函在相同的近Hermite类里有一个临界点或一个稳定点，那么单浸入是J-全纯曲线；具有hard Lefschetz性质的闭的2n维辛抛物流形上，其欧拉数与（-1）^n的乘积是非负的。上述结果推动了Donaldson型Calabi-Yau方程解的存在性的研究。欧氏空间中具有有限全曲率的完备非紧超曲面，其约化L^2上同调空间的维数是有限的。n+1维（n大于等于2）欧氏空间的完备极小超曲面，如果全曲率充分小，我们得到只有平凡的L^2调和 2-形式。外围空间是球面时，我们也得到类似的结果。球面中完备非紧超曲面，如果第二基本形式的长度或者无迹全曲率充分小，我们仍然得到消灭定理。shrinking gradient solitons在适当的条件下，Lf指标有仅与第一Betti数有关的下界。 5维K-contact流形(M,ξ, η,Φ, g)2阶基本上同调群的分解，并得到Φ-不变和Φ-反变上同调群是纯且满的。得到的复化2阶基本上同调群的分解结果是Draghici等人关于近复流形(M,J)的2阶上同调群J-不变和J-反变子群纯且满问题的推广，这推动了切触流形上广义Calabi-Yau方程的建立和方程解的探讨。