非正曲率流形上的有界调和函数

The existence of nontrivial bounded harmonic functions on complete simply-connected Riemannian manifolds of nonpositive sectional curvature is an attractive problem in global differential geometry and geometric analysis (refer to the No.47 problem in the second collection of 120 problems by S.T. Yau [S.T. Yau, Open problems in geometry, in Differential Geometry: Partial differential equations on manifolds (Los Angeles, CA 1990), 1-28, ed. by R. Greens and S.T. Yau, Proc. Symps. Pure Math. Vol 54 Part I, AMS, Providence, 1993.]). The study is a right way to understand the deep geometric properties of Riemannian manifolds (including complex manifolds) with nonpositive sectional curvature and also relates to some fnndamental problems in complex geometry. Based on the recent work done by the applicant (see [Q. Ding, Bounded harmonic functions on Riemannian manifolds of non-positive curvature, Math. Ann. Published online 02 August 2011 (DOI10.1007/ s00208-011-0705-9).]), we aim to continue the exploration on this problem. It is expected that a further progress will be achieved during the period of performing the proposal. We also attempt to generalize such a study to Alexandrov spaces.

非正曲率的完备单连通的黎曼流形上有界调和函数的存在性问题是整体微分几何和几何分析研究中一个倍受人们关注的问题（参见S.T. Yau于1993年提出的第二个120问题集中的第47问题[1](文献在项目的立项依据中所列)），这既是探究这类流形（包括复流形）几何性质的一种重要的手段，也与复几何中的一些基本问题密切相关。本项目拟在申请人就这一问题的研究所取得一定进展（参见[9](在立项依据中所列)）的基础上，作进一步的探索和研究，以期在该问题及有关问题的研究上能够取得更大的突破，并且也尝试把这种探索和研究推广到某种Alexandrov空间。

完备单连通且曲率介于负常数之间的流形上的（调和函数）Martin表示公式早已被Anderson和Schoen得到，这一公式揭示了在这些流形上函数理论和几何之间相互渗透影响的深刻关系，虽然当流形的曲率是非正且不能介于负常数之间时，这种关系会变得异常的复杂，但我们仍然试图把研究拓展到这种情形。一个关键的想法是通过测地线的性质引人极小几何边界的概念，使得当曲率介于负常数之间时，极小几何边界就回到通常的几何边界；在适当的几何条件下建立极小几何边界附近的无穷远的Harnack不等式后，我们证明极小几何边界是极小Martin边界（的一部分），从而在极小几何边界上建立了（调和函数）Martin表示公式，而由Martin表示公式可直接得到非平凡有界调和函数的存在性。所得结果包含有界对称域上调和函数的Poisson积分公式和Anderson和Schoen的Martin表示公式。