整群环的Bass Nil-群

In the K-theory of group rings, the Bass Nil-group NKi(ZG) are the obstruction to reduce calculations of K-groups of group rings to finite groups. In this project, we intend to study the structure of NKi(ZG) for G a finite group. Using the results on the structure of K2 groups of truncated polynomial rings over finite group rings and the Mayer-Vietoris sequence for NK-groups, we try to prove that NK2(ZG) is a non-trivial group for any finite nontrivial group G. To get a precise estimate on the exponent of the elements in the torision group NKi(ZG), we shall explore the W(Z)-module structure of NKi(ZG); using Verschiebung maps and Frobenius maps, we also intend to calculate NKi(ZG) from NKi(ZH), where H are p-subgroups or p-elementary subgroups of G.

在群环的代数K-理论中,将关于任意群G的Ki(ZG)的计算归结为对关于有限群H的Ki(ZH)的研究是目前重要的问题，整群环的Bass Nil-群NKi(ZG)在这一问题上扮演着阻碍的角色，研究NKi(ZG)的结构是群环的K-理论中的核心问题之一。本项目拟研究当G是有限群时NKi(ZG)的结构问题。我们拟利用关于NK-群的M-V序列以及有限群环上的截断多项式环的K2群去证明对任意非平凡有限群G，NK2(ZG)都是非平凡的；深入研究NKi(ZG)作为Witt向量环W(Z)上的模的结构，利用Verschiebung映射、Frobenius映射等建立NKi(ZG)与NKi(ZH)之间的联系，其中H是G的p-子群或p-基本子群等，得到对扭群NKi(ZH)中元的阶数或指数的一个较为精确的估计。

K-群在代数拓扑、代数数论中有着重要的应用。确定群环的K-群结构是代数K-理论中困难而重要的问题之一。研究整群环的Bass Nil-群NKi(ZG)的结构是群环的K-理论中的核心问题之一。本项目主要研究了K2(ZG)、K2(FG)和NK2(FG)的具体结构或性质，取得以下成果。.对于任意有限域F和任意有限交换p-群G, 我们通过将K2(FG)分解为截断多项式环的相对K2-群的直和并对由Dennis-Stein符号表示的元素进行大量计算、细致分析，得到了群K2(FG)的具体结构，最终彻底解决了当G为任意有限交换群时K2(FG)的结构问题。.K2(ZG)的计算也是非常令人关注的问题。我们利用由环的Cartesian块诱导的Mayer-Vietoris序列得到了当G为有限交换p-群时K2(ZG)的阶数的一个下界，并且给出了当p为奇素数时K2(ZG)的p-秩的下界，其中G是循环p-群或基本交换p-群。同时我们还给出了对较小的素数p，当G是循环p-群或基本交换p-群时K2(ZG)的结构。当F是特征为p的有限域，对于G的阶数是素数p的方幂的循环群的情况，我们总结出了Ki(FG)的计算公式。.当G是有限群时确定NK2(ZG)的结构也是群环的K-理论中的核心问题之一。我们得到NK2(FG)中无限多个非平凡的pl阶元素，且这些元素组成NK2(FG)的一个生成元集。