整群环的K2群

To determine the explicit structure of the K-groups of integral group ring is one of the most important problems in algebraic K-theory. These K-groups also play an important role in algebraic topology and number theory. In this project, we intend to determine the explicit structure of K2(ZG) for a finite group G. For an arbitrary finite group G, starting form a Cartesian square of ZG, we will construct a series of Cartesian squares of rings one after the other. From these squares, we can get a composition series of K2(ZG) and a generalized Mayer-Vietoris sequence. After calculating the quotient of every two consective terms in the composition series by using generalized M-V sequence, K2(ZG) can be decomposed into a direct sum of K2(ZH) with H a group of relatively small order; when the order of G is relatively small, we can get the explicit representation of the elements of K2(n,ZG) through direct calculation, then prove whether K2(ZG) can be generated by Steinberg symbols, and at last determine the order of these symbols.

确定整群环ZG的各阶K-群的具体结构是代数K-理论中的重要问题，在代数拓扑和代数数论中也有重要的意义。本项目拟研究G是有限群时K2(ZG)的具体结构。对于任意有限群G，拟先将ZG表示为两个扭群环的拉回，再分别将这两个扭群环表示为其它扭群环的拉回，这样依次构造出有限个环范畴上的Cartesian块。从这些块可以得到一个推广的Mayer-Vietoris序列以及K2(ZG)的一个滤链，利用M-V序列计算滤链中相邻两项的商群，最终将K2(ZG)表示为有限多个K2(ZH)的直和，H是阶数较小的群；当G的阶数较小时，通过具体计算得到K2(n,ZG)中元的表示形式，证明K2(ZG)可否由Steinberg符号生成，然后确定这些符号的阶数。

确定群环、代数整数环等的K-群的具体结构是代数K-理论中的重要问题，这些K-群在代数数论、代数拓扑中都有重要的应用。本项目主要研究了K2(ZG)和K2(FG)的具体结构或者阶数，取得了以下的成果。. 计算K2(ZG)是非常引人关注的问题，研究方法之一是将ZG嵌入到它在QG的整闭包中，然后构造一些Cartesian图。在以往文献里，整闭包表示为代数整数环的直和，我们具体确定了这个整闭包的元素。当G是有限交换p-群，p是奇正则素数时，我们确定了K2(ZG)的非p-扭部分的阶数下界，同时也进一步揭示了K2(ZG)与代数整数环的K2群之间的密不可分的关系。. 当G是有限交换群，F是有限域时，K2(FG)的阶数是已知的。我们将K2(FG)表示为截断多项式的相对K2群的直和，通过对Dennis-Stein符号的繁琐计算，我们确定了这些相对K2群的具体结构，进而彻底解决了K2(FG)的结构问题。. 我们也研究了交换代数中的一些问题。当(R,m)是局部正则环时，对任意的非负i和理想I，G.Lyubeznik猜测R的支集在I中的i-阶局部上同调模的伴随素理想的个数是有限的。我们表明只需验证i是2或3的情形，并且当i=2时，我们验证了这一猜测。