流体力学方程组中若干奇异极限问题的研究

The singular limit problem in hydrodynamical equations has been a key problem for mathematical physicists and an important research direction in PDE. This project intends to study two singular limit problems: the vanishing viscosity limit of the Navier-Stokes equations and the modulation limit of the water wave equations，and the main objective contains:.(1)Consider the incompressible Navier-Stokes equations with Navier friction boundary condition, we study the validity of Prandtl expansion in Sobolev space in the neighborhood of shear flow..(2)Consider the steady Navier-Stokes equations in ring, we justify the validity of steady Prandtl expansion in Sobolev space for some special Dirichlet boundary condition..(3)Consider the 2d water wave equations with finite depth, we justify the validity of nonlinear Schrodinger equations .

流体力学中的奇异极限问题是数学物理学家关心的核心问题，也是偏微分方程中的重要研究方向。本项目拟研究两个奇异极限问题：不可压缩Navier-Stokes方程的粘性消失极限和水波方程的modulation极限，其主要内容包括：.（1）对于带Navier friction边界条件的2维不可压缩Navier-Stokes方程，在剪切流附近，研究边界层展开在Sobolev空间中的有效性。.（2）考虑圆环上的稳态Navier-Stokes方程，对于一类特殊的Dirichlet边界条件，研究稳态边界层展开在Sobolev空间中的有效性。.（3）对于2d有限深水波方程，严格验证非线性Schrodinger方程的有效性。

本项目主要关心不可压缩流体力学方程组的奇性分析，包括不可压缩Navier-Stokes方程组的粘性消失极限和Boussinesq方程组的Hölder连续奇异耗散弱解的存在性，主要成果包括：（1）对于圆盘上带近乎匀速转动边界条件的稳态Navier-Stokes方程组，在Sobolev空间中严格验证了粘性消失极限，并由此构造了圆盘上稳态Navier-Stokes方程组的一类Prandtl-Batchelor流。（2）对于圆环上带近乎匀速转动边界条件和小外力的稳态Navier-Stokes方程组，在Sobolev空间中严格验证了粘性消失极限。（3）对于周期区域上带热扩散的2维Boussinesq方程组，构造了Hölder连续的奇异耗散弱解。