流体力学方程组中若干问题的研究

There are important physical background and application value on the study of fluid mechanics equations. The research is one of the most important research fields on the theory of nonlinear partial differential equation. Navier-Stokes equation and non-Newtonian fluids equation are the most basic equations of the fluid mechanics equations. In this proposal, we intend to investigate some problems on fluid-dynamical system, including the existence, uniqueness and blow-up riteria of isentropic compressible Navier-Stokes equations and non-Newtonian fluids Equation and the existence, uniqueness and large-time behavior of global solutions to a Viscous Heat-Conducting one-dimensional gas with temperature-dependent viscosity. The progress achieved in this proposal will help to further improve the theory in the field of nonlinear partial differential equations.

关于流体力学方程的研究有着非常重要的物理背景和应用价值，而且此类混合型偏微分方程的研究也是非线性偏微分方程理论中最重要的研究方向之一。可压缩 Navier-Stokes 方程和非牛顿流体方程是流体力学中最基本的方程组，Navier-Stokes方程解的适定性是著名的千禧年问题之一。本项目的主要研究内容有：1、研究三维粘性系数依赖于密度等熵可压Navier-Stokes方程经典解全局存在唯一性及爆破准则；2、粘性系数及热传导系数依赖于温度或密度非等熵可压Navier-Stokes方程自由边值问题全局强解的存在唯一性及大时间行为；3、非牛顿流体力学方程中基本波的稳定性问题。本项目的研究将有助于解释粘性系数和热力学系数在流体力学方程组研究的作用与物理机制，了解非牛顿流体中基本波的运动规律，进一步完善和发展非线性偏微分方程的理论和方法。

本研究项目的结果包括Navier-stokes方程组, 可压缩非牛顿流体及相关模型的数学理论。其结果为：(1) 粘性系数依赖于密度的Navier-stokes方程组解的球对称弱解的整体存在性及经典解的整体适定性；(2) 黏性系数为常数(或依赖于密度)而热传导系数依赖于温度的非等熵可压缩 Navier-Stokes 方程自由边值问题的强解的存在性及大时间行为；(3) 可压缩非牛顿流解的弱解的整体存在性及经典解适定性理论; (4) 可压缩 MHD 方程组的Cauchy问题的整体适定性。取得了一系列研究成果，在SCI源期刊上发表和接受发表论文19篇，发表和接受发表论文的杂志包括“J. Differential Equations”、“Commun. Math. Sci.”、“Discrete Contin. Dyn. Syst.”、“Z.Angew. Math. Phys.”、“ J. Math. Phys.”、 “Nonlinear Anal. Real World Appl.”、 “Nonlinear Anal.”、 “J. Math. Anal. Appl.”等。