李群的上同调

The problem of determining the cohomologies of all Lie groups was raised by E. Cartan in 1929. It is a focus of algebraic topology for the fundamental roles of Lie groups playing in geometry and topology. In addition to the achievements by many mathematicians in about one century (e.g. Pontrijagin 1935; Hopf 1940; Leray, Serre, Borel 1950-1954), the story remains incomplete. In particular, the integral cohomology rings of the five exceptional Lie groups, as well as the integral cohomology rings of many semi--simple Lie groups, remain open.. The aims of this project are: . 1) Obtain explicit presentations of the integral cohomologies of semi-simple Lie groups;. 2) Extend the results in 1) to all compact Lie groups; . 3) Determine the Hopf algebra structures on the integral cohomologies of the semi--simple Lie groups.

李群的同调性质是流形的分类理论和示性类理论的基础。是代数拓扑、几何学、以及表示论共同关心的内容。早在1929年, E. Cartan 提出了决定李群的上同调的课题。在随后的工作中，Pontrijagin 应用了胞腔分解的方法，Hopf 提出了有限维 Hopf 代数分类的的方案，而 Leray, Serre, Borel 等人发展了谱序列方法。这些方法仅仅适用于计算李群的以域为系数的上同调，以及部分典型群的整系数上同调。决定紧致李群的整系数上同调环的课题，尤其是五个例外李群、以及非单联通李群的整系数上同调环，是前期工作所遗留困难的问题，需要建立更为深刻且系统的理论和方法。.本项目的研究目标是： . 1）对于所有半单李群，得到它们的整系数上同调环的显性表达式；. 2）将1)中的结果，推广到所有紧致李群；. 3）决定半单李群上同调环中的Hopf代数结构。

李群的同调性质是流形的分类理论和示性类理论的基础。是代数拓扑、几何学、以及表示.论共同关心的内容。早在1929年, E. Cartan 提出了决定李群的上同调的课题。随后,.Pontrijagin 应用了胞腔分解的方法，Hopf 提出了有限维 Hopf 代数分类的的.方案，而 Leray, Serre, Borel 等人发展了谱序列方法。这些方法仅仅适用于计算李群.的以域为系数的上同调，以及部分典型群的整系数上同调。决定紧致李群的整系数上同调环的.课题，尤其是五个例外李群、以及非单联通李群的整系数上同调环. 是前期工作所遗留困难的.问题..针对上述工作所遗留的问题，本项目的成果包括：.1）对于所有半单李群，得到了整系数上同调环的显性表达式；.2）将1)中的结果，推广到所有紧致李群；.3）决定了半单李群上同调环中的Hopf代数结构。