李群上的信息几何结构及其应用

S.Amari 利用微分几何建立了信息几何学。他的主要思想是引入比黎曼联络更广泛的仿射联络- - -对偶联络以及把一种只满足非负性的散度作为距离函数。由于它在统计推断、信息领域以及统计物理等领域的成功应用，受到国内外的广泛关注，正在成为热门的研究领域之一。.本项目拟研究：.1、把李群和李代数的理论引入到信息几何的框架下，建立更加深入的信息几何理论.2、把李群信息几何理论应用到信息领域，例如机器人的控制，分数阶傅里叶变换，盲源信号处理等领域。

摘要：. 信息几何就是利用黎曼几何的方法来研究信息领域里的问题的科学。S. Amari提出了信息几何的概念，他的研究论文已经被引用了超过2万余篇。由于信息几何在统计推断、神经网络、信号处理、控制理论等领域的成功应用，使得它受到越来越多的关注。本项目着眼于李群上的信息几何结构及其应用。经过几年的努力，获得一系列研究成果，为后续的研究奠定了基础。我们的主要成果包括：.1、利用建立在标架丛上的和乐群这种李群对统计流形进行了分类；利用标架丛计算了正态分布流形的曲率，克服了通常在底空间上进行的复杂运算；根据S. Amari在统计流形上定义的李群结构的定义，我们给出了具体计算黎曼度量和联络形式的公式，同时我们推广相应的结论，给出了一些例子。.2、我们在一般线性群的子流形--正定矩阵流形上定义黎曼度量，使之成为连通的、完备的黎曼流形。我们把这种思想用于解决线性系统的稳定性和最优控制的研究，获得了求解Lyapunov方程和代数Riccati方程的求解算法，这些算法比以往的算法收敛速度快。 同时，我们利用广义Hamilton方法给出了求解Lyapunov方程和代数Riccati方程的求解算法, 该方法的优点在于在某些条件下避免了陷于局部最小的缺陷。.3、我们研究了在机器人控制以及物理上具有重要应用的特殊欧几里德群以及海森堡群，获得了计算它们的几何平均的计算公式。.4、利用建立在特殊线性群上的线性正则变换理论，研究图像水印问题。我们在研究图像水印时参数的选择多了灵活性，适当的参数选择使得图像水印比已有的方法效果更好。.5、完成了专著《信息几何导引》，系统地介绍了信息几何的基本内容。.6、发表（包括接受待发表）论著.学术论文25篇，其中SCI检索18篇，EI检索5篇。完成专著1部。