微分自治系统几类多重奇点的极限环分支与共振中心

This project mainly studies two problems. On the one hand, we study the bifurcation problem of a multiple singular point of multiplicity N(that is, the coalescence of N elementary singular points)which is broken and will generate limit cycles under perturbation. 1) When a nilpotent focus (or node) of multiplicity 3 breaks into two elementary fine foci and one elementary saddle, try to find conditon of generating limit cycles from the two fine foci and the relation of focal values ( node values) of unperturbed system with it . 2) Prove that when a multiple focus (or node) of multiplicity 2n+1 breaks into a focus (or node)of multiplicity 2n-1 with opposite stability to it and two conjugate complex elementary singular points, there will generate limit cycle in the neighborhood of the focus(or node)for the perturbed system. Moreover, study the uniqueness of limit cycle bifurcating from the focus (or node)and prove that, for the unperturbed system, there will generate n limit cycles after repeating the above-mentioned progress (lower multiplicity and change stability) and at last the focus (or node)of multiplicity 2n+1 will breaks into one elementary focus (or node) and n pairs of conjugate complex singular points. On the other hand, for an analytic system with parameters in complex space, when the origin or the infinity is a p:q resonant singular point , we study the generalized center condition and integrability of them respectively.

本项目主要研究两个方面的问题。一方面研究实平面微分自治系统的一个重次为N的多重奇点（即N个初等奇点的合并）经扰动破裂后在其邻域产生极限环的下列分支问题：1）一个重次为3的幂零焦点或结点分解为两个初等细焦点和一个初等鞍点后，这两个细焦点同时由Hopf分支产生极限环的判据，该判据与未扰系统幂零焦点或结点的焦点量或结点量有何关系？2）证明当一个重次为2n+1的高次结点或焦点经扰动分裂为一个稳定性与之相反的重次为2n-1的结点或焦点，并产生一对共轭的复初等奇点时，扰动系统在该结点或焦点邻域将产生极限环，并研究其唯一性。继而证明未扰系统可以反复经过上述过程（降低重次和改变稳定性）产生n个极限环，而未扰系统的重次为2n+1的高次结点或焦点最后将分裂为一个初等焦点或结点，以及n对共轭的复奇点。另一方面研究复参数空间中解析系统共振奇点的广义中心条件与可积性及线性化，分别研究原点与无穷远点为共振奇点的情形。

本项目主要研究两个方面的问题:一是幂零奇点（包括焦点和结点）的稳定性判据与极限环分支问题，二是复参数空间中解析系统共振奇点的广义中心条件与可积性及线性化问题。这都是当前定性理论中极受关注的问题，有许多新的分支现象有待发掘。. 本项目对重次为3的幂零奇点有下列研究成果：1，假定原点的第一个焦点量不为零，则当原点经小参数扰动破裂后可分解为一个初等鞍点和两个一阶细焦点，或者，分解为一个二阶细焦点和一对复奇点，不管哪种情况，都可以分支出两个极限环。这就彻底弄清楚了这类奇点破裂后的极限环分支问题，阐明了一种前人没有研究过的分支现象。2.证明了一个位于坐标原点的重次为2n+1的幂零结点（或幂零焦点）可以通过降低重次和改变稳定性产生一串极限环。当该原点的重次最终变为3时其邻域最多可以产生n-1个极限环。这种现象类似于多重Hopf分支，但产生极限环的奇点可以是幂零结点和幂零焦点，所解决的也是前人没有研究过的分支问题，所做的工作达到了项目既定的研究目标，完全是创新性的。. 本课题还在其他几个方面有所创新和突破，从略。