几类平面微分系统的极限环分支

Limit cycle bifurcations of planar differential systems, which is closely related to the well-known Hilbert’16th problem, is an important branch of the qualitative theories of differential equations. The research concentrated limit cycle bifurcations of near-Hamiltonian systems with multiple parameters and integrable systems. Using qualitative theories analyse the bifurcation phenomena and according to the first order Melnikov function expansions calculate the number of limit cycles and location. The research of this project will enrich the theories and methods of nonlinear science, and provide the theoretical basis for the research of related subjects.

与著名的Hilbert第16问题密切相关的平面微分系统的极限环分支问题，是微分方程定性理论中的一个重要分支。本项目集中对多参数近Hamiltonian系统和可积系统的极限环分支问题进行研究，利用定性理论的方法分析系统所产生的分支现象，并根据Melnikov函数的一阶展开式计算极限环个数以及确定位置关系。本项目的研究将丰富非线性科学的理论和方法，为相关学科的研究提供理论依据。

Hilbert第16问题迄今为止仍未彻底解决，是非线性微分方程中最富挑战的问题之一。本课题利用定性理论的分析方法结合Melnikov函数的一阶和高阶展开式进行计算，得到某类多参数Hamiltonian系统和可积系统的极限环个数和位置关系。首先，研究了一类七次参数Lienard系统的极限环分支问题，根据参数的选取不同给出未扰Hamiltonian系统的106种分类和相图，重点研究其中具有中心和坐标轴对称结构的七奇点Lienard系统的极限环分支问题，得到7次未扰系统分别在11，9，7，5次扰动系统下至少产生15，11，11，6个极限环；其次，研究了对称鞍点异宿近哈密顿系统的极限环分支问题，在已有Melnikov函数展开式的前4个系数的基础上再推导3个系数的公式，并得到该系统在7次扰动下至少有8个极限环；最后，研究了一类非线性四点边值的正解问题，是课题相关结果，此问题的解决有助于拓宽课题的研究范围，从而将连续的极限环问题向不连续的周期解问题加以延伸，以便得到更多的相关结果。综合上述结果，本研究为实现Hilbert第16问题的彻底解决奠定了扎实的工作基础，同时为相关学科的发展提供了重要的理论依据。项目资助发表国际期刊论文1篇，待发表2篇。项目投入经费3万元，支出0.6562万元, 剩余经费2.3438万元，剩余经费计划用于本项目研究后续支出。