非齐次非局部扩散方程的稳态解和周期解

During the past twenty years, nonlocal dispersal equation has been widely used to model different diffusion processes, such as in material science, population dynamic and epidemiology, and it has became an important research area. Much attention has been drawn to the study of the nonlocal dispersal equation, see the recent works of P.W. Bates、H. Berestycki、Y. Lou. Methodologically, due to lack of compactness and regularity of nonlocal dispersal operators, some difficulties, which do not arise in the study of reaction-diffusion equations, arise in the study of of nonlocal dispersal equations. We are concerned with the steady-states and periodic solutions of nonlocal dispersal equations. Firstly, we study the existence, uniqueness and stability of positive steady-states in heterogeneous environment. In the second part, we consider steady-states of a nonlocal dispersal equation in a genetic model. The sufficient and necessary conditions to guarantee a positive steady-state is obtained. Finally, we study the periodic solutions of time-periodic nonlocal equations. The different effects of temporal degeneracy, spatial degeneracy and spatiotemporal are established. This will give a good characterization of the nonlocal dispersal equations.

近二十年来，在材料科学、种群动力学、流行病学等学科的研究中，导出了大量的非局部扩散方程并引起许多学者如P.W. Bates、H. Berestycki、Y. Lou等的极大关注，它已成为现代数学研究的一个重要领域。由于非局部扩散算子不在具有较高的正则性及其本身紧性的缺失，给非局部扩散方程的研究带来很多本质困难。本项目致力于研究非齐次非局部扩散方程的稳态解和周期解。主要内容包括带保护区域的非齐次非局部扩散模型正稳态解的存在性、唯一性和稳定性，建立稳态解存在的充要条件并发展相关方法；研究带变号权函数的非局部扩散基因模型，建立非平凡稳态解的存在性与唯一性，并发展关于其存在性和唯一性的方法；研究时间周期非局部扩散方程的正周期解，分析时间退化、空间退化及时空退化对非局部系统的不同影响。通过对这些非局部扩散方程的研究，希望从动力学角度理解它们的本质特征。

本项目借助于算子半群理论、线性化稳定性原理、偏微分方程等理论研究非局部扩散方程的稳态解和周期解。发展已有的研究工具并找到新的研究方法，建立系统与精确的理论结果，并应用于非局部扩散种群动力学、传染病学等学科。在稳态解的研究中，我们得到了正稳态解存在性、稳定性和唯一性等结果，这些结论体现出了空间非其次性、退化性、扩散算子的非局部性等因素对稳态解的不同影响；在周期解的研究中，我们考虑了周期非局部算子的谱理论及其主特征值的性质，包括关于参数的渐近行为。主要结果应用到非局部扩散周期问题。同时我们发现非局部扩散方程与经典反应扩散方程解的不同行为与本质差别；进一步，在研究退化非局部方程正稳态解的性态时，我们得到了其关于退化的精确行为与爆破速度。这些结果可以描述非局部动力系统的独有特点。