几类椭圆型方程（组）的解的结构和性质

We do further studies on structure and properties of solutions of a class of semilinear or quasilinear elliptic equations and parabolic equations arising from some other fields. These equations include the semilinear elliptic equations or elliptic equations involving bi-harmonic operator with singular nonlinearities which occur in the modeling of electrostatic micro-electromechanical system (MEMS); a class of semilinear elliptic equations and quasilinear elliptic equations or parabolic equations involving parameters which occur in Newtonian fluid mechanics; transfusion of porous media and the population models. Boundary value problems and free boundary problems of these equations will be discussed. We will carefully study radial symmetry of the solutions; size and structure of the singular sets of the solutions; multiplicity of the solutions; structure of bifurcations of the solutions; dependence of the bifurcations on the parameters; asymptotic behaviors of the bifurcations and spreading and vanishing behaviors of the solutions. Such kind of studies are very important not only on the applications but also on the theory of partial differential equations.

本项目旨在对一类有着实际背景的带有高阶算子、退化的椭圆型、抛物型方程的解的结构和性质进行更深入的探讨。其中包括以微电子机械系统（MEMS）为背景的一类带有奇异非线性项的半线性及含有双调和算子的椭圆和抛物问题的解的结构和性质；以牛顿流体力学、多孔介质中渗流问题、人口问题等为背景的一类带有参数的半线性和拟线性（退化）的椭圆及抛物型方程（组）的广义及自由边界问题的解的结构及性质。这些问题有其各自不同的特点，但从数学理论上看也有着很多本质的联系。我们将详细刻画这些问题的解的奇点集合的结构与性质、解的确切重数、对称性区域上方程的解的对称性、解的分枝的确切形状、解的分枝对参数的依赖关系、解的分枝关于参数的渐近行为及抛物问题的解的传播与消亡等。这些问题的研究不仅对实际问题的解决提供确切的理论保证， 同时对数学理论自身的丰富和发展也很有意义。

本项目旨在对一类有着实际应用背景的椭圆及抛物方程（组）解的结构和性质进行深入、细致的研究。 我们研究了一类含有双调和算子的四阶椭圆方程解的结构和性质。例如：以微电子薄膜震动（MEMS)为背景的含有双调和算子和带有奇异非线性项的椭圆边值问题、共形几何中的Q-曲率问题及Yamabe问题。建立了具有临界增长的双调和Lane-Emden方程在全空间上正则正解具有对称性的充要条件、具有孤立奇点的整体正解的结构和性质； 讨论了含有双调和算子和临界增长的椭圆方程在外区域上解的结构和性质；构造出含有双调和算子且具有超临界增长的椭圆方程在全空间上的无穷多个奇异解。我们也研究了一类带有特殊”权函数“的椭圆方程解的结构和性质，建立了带有奇异权函数的Sobolev空间上的嵌入定理并将此应用到证明相关边值问题解的存在性、得到了带有奇异权函数的方程在全空间上的Liouville定理并将相关的结果推广到四阶方程上去。我们同时用Liouville定理和Morse指标对一类二阶Lane-Emden方程的整体正则解进行分类，并利用整体正则解的Morse指标和blow-up方法讨论了一族外扩张环域上的椭圆方程Dirichlet问题解的结构和渐近行为。对一类带有特殊权函数且具有次临界和临界增长的二阶椭圆型方程具有孤立奇点的非负奇异解在奇点处的确切渐近行为也进行了卓有成效的研究。此类问题的研究不仅在物理学、微分几何学等学科中有很好的应用， 同时对数学理论的丰富和发展都有很重要的意义。