几类变分形式的非线性椭圆型方程的解的存在性与解的性质研究

This project studys the existence of nontrivial and multiple solutions to several elliptic partial differential equations of variational type and properties,like exponential decay,concentrations of the solutions to the equations. We will study the existence of nontrivial and multiple solutions to some elliptic equations based on nonlinear optics, to p-Laplacian type equations with linking geometry and critical, possibly non-continuous nonlinear term; the existence and the exponential decay and concentrations of nontrivial and multiple solutions to Kirchhoff type equations without Ambrosetti-Rabimowitz conditions,which have critical, possibly non-continuous, nonlinear term. We expect to make significant progresses in the research of the above mentioned problems..

本项目拟研究几类变分形式的非线性椭圆型偏微分方程的非平凡解和多解的存在性和解的性质如指数衰减性、集中性等。重点研究源于非线性光学的一类椭圆方程的非平凡解和多解的存在性、无界域上具有环绕结构、具有临界增长或非连续非线性项的p-Laplace型方程的非平凡解和多解的存在性；具有临界增长或不连续非线性项、不满足Ambrosetti-Rabinowitz条件的Kirchhoff型椭圆问题的解的存在性、衰减性、集中性；我们希望在上述问题的研究中取得有突破意义的进展。

本项目组成员经过四年的努力在非线性椭圆型方程，尤其是在Kirchhoff型方程为代表的非局部型的非线性椭圆方程的非平凡解的存在性的研究上取得了一系列有意义的进展。例如，我们将全空间 上的次临界Kirchhoff型问题的极小能量解存在性的条件，从以往对非线性项满足(AR)条件的限制（即非线性主项的幂指数的范围），扩大到自然合理的范围。我们得到了临界指数的Kirchhoff问题的一个较以往工作更精细的门槛值，并得到了临界指数的Kirchhoff问题的正解的存在性定理。同时我们证明了低阶扰动项的幂指数在合理范围时正解存在，且还得到了解的集中现象的一些结果。我们还得到了Kirchhoff型问题 规范化解的存在性，Kirchhoff型问题高能量解的存在性等等。我们对Kirchhoff型方程的研究的积累为我们研究其他非局部型问题创造了条件。在此基础上，我们研究了拟线性临界Schr dinger方程的正解的存在性、Chern-Simons-Schr dinger方程的 规范化解的存在性、Choquard方程的 规范化解的存在性、有界域上临界指标耦合Schr dinger方程组和变号解的存在性、非存在性等，取得了有意义的进展。.在本项目在执行期间，项目组成员共发表论文33篇，项目的研究目标得以实现。