有限群在有限域上的表示和编码问题

Research on three topics on representations of finite groups over finite fields, .which are motivated by and applied to coding theory. . .* Study idempotents and related characters of group algebras of finite groups over (non-splitting) finite fields, Fourier transforms of free permutation modules and their precise matrix formulations; generalize matrix product codes and decompose any quasi-cyclic codes into generalized matrix product codes; explore quasi-cyclic codes with such matrix formulations. . .* Study partitions of characters of group algebras, the relation between them and .idempotents, and the related partition of conjugacy classes; apply them to the research of duadic and polyadic codes. . .* Study symmetric modules over finite fields, special classes of symmetric modules such as projective symmetric modules; study module-theoretic behavior of Brauer induction theorem over finite fields and explore the local characterization of hyperbolic modules; study self-dual permutation codes. . .The above studies are linked to one another by characters and Fourier transforms, .they will be carried out with cyclic groups, commutative groups, quadratic groups .and groups with normal cyclic subgroups etc. The studies have not only attracted a lot of interest from group theory and coding theory, they are also challenging, because of the non-splitting behavior of the related algebras.

研究从编码理论激发的而又应用于编码理论的有限群在有限域上的表示的三个问题..* 研究有限域上的群代数(非分裂情形)的幂等元和特征标, 自由置换模的 Fourier变换及其精确矩阵形式, 推广矩阵积码使得拟循环码完全分解为广义矩阵积码, 进一步利用矩阵计算优势讨论拟循环码..* 有限域上的群代数的特征标的划分, 它们与相应的幂等元的关系, 与共轭类划分的关系; 用于2重和多重adic码的研究和分类..* 研究有限域上的对称模, 特殊对称模类如投射对称模等; 研究有限域上的Brauer诱导结构, hyperbolic模的局部刻画; 研究自对偶置换码的存在性和性质..这些研究以特征标, 幂等元和Fourier变换为主线索相互关联, 以循环群, 交换群, 二面体群及有正规循环子群的有限群为主要载体展开; 它们有群表示和编码的强烈背景和重要意义, 而且, 因为相应代数的非分裂性，具有一定挑战性.

研究从编码理论激发的有限群在有限域上的表示的三个问题，解决相应的编码问题：1. Fourier变换，拟循环码；2. 特征标的polyadic划分，保距自对偶性；3. 诱导定理、双曲模的局部刻画。如期执行了项目研究计划。研究目标基本完成。在研究工作深化的过程中，有新的思想和新的研究目标出现，获得超预期成果。代表性成果：. (1) 随机拟交换码的相变性质。做出了关于拟交换码（包括拟循环码）的第一个有关相变的结果，相变性质比渐进好性质强得多，后者是前者的一个方面的直接推论。一个后续工作是：创新性地引进了分数指数的拟循环码，证明了，指数处于1与2之间的拟循环码也是渐进好码. (2) 常循环码的polyadic划分。发展了基于群论思想的一套方法，获得了常循环码的Type-I型的polyadic划分存在的充分必要条件；构造了几类好码，描述了它们的一种复杂度很低的解码办法。在这套创新性方法基础上，进一步做了三个工作：Type-II duadic划分；Galois自对偶码；保距自对偶循环码。. (3) 双曲模的局部刻画。发现了一类特殊的广义二面体群，利用诱导结构，把双曲性的判别简化为这类广义二面体子群的限制模的双曲性判别；给出了在特征标、自对偶码和Witt等价三个方面的应用。