有限域上若干问题的研究

No matter what kind of normal bases over finite fields, permutation polynomials with various characteristics, linear shift register sequences over finite fields, or the classical group and so on, these objects are inherently linked, to crossover stuty them both with a mathematical theoretical interest, and promote to solve mathematical problems faced by the modern computer and communication applications. The project plans to carry out the following work : to study starting from the generalized Gauss normal basis and its dual basis, looking for their representation and calculation of their complexity; crossover study on linear shift register sequences and linearization polynomials, and study the product of linear recurring sequences with this idea; give an explicit algorithm for computing the finite oscillator dictionary, from the new concept of strict optimal rational approximants of multisequences, compared to previous optimal rational approximation, we study the differences and relations of them; from the point of view of classical group over finite field, to study the finite projective space especially properties of graph constructed by unitary geometry and orthogonal geometry. Results of this project will enrich the theory of finite fields, and provide new ideas for crossover studing on some problems of them.

无论是有限域上的各种正规基，具有各种特性的置换多项式，流密码学以为基础理论的线性移位寄存器序列，还是有限域上的典型群等等，这些对象之间都有着天然的内在紧密联系，对它们的交叉研究既有着数学理论上的兴趣，又促进着现代计算机和通讯应用中所面临的数学问题的解决。本项目计划开展如下的工作：拟从广义高斯正规基及其对偶基的研究出发，寻找它们的表示形式并计算它们的复杂度；对线性移位寄存器序列和线性化的多项式进行交叉研究，并用此思路研究乘积序列；对谐振系统得到的序列给出一个明确算法的构造；从多重序列的严格最佳有理逼近这个新概念出发，对比以前有理逼近的概念，研究它们之间的差异与联系；从有限域上的典型群出发，来研究有限域上射影空间尤其是酉几何和正交几何构造的图的性质。项目的研究成果将丰富有限域的理论，同时为其中若干问题的交叉研究提出新的思路。

代数图论是数学中离散数学的一个分支，主要是应用代数方法解决图论问题，分别有线性代数方法，群论方法和图不变量方法。在本项目中我们采用的是将线性代数和群论方法相结合的方法来研究具有很好对称性的图,如强正则图，拟强正则图，Deza图,距离正则图等.在本项目中我们从有限域上的典型群出发,来研究有限域上射影空间尤其是酉几何和正交几何构造的图的性质.在本项目中我们对于n>=6的情况确定了酉图的第一次成分的自同构群,并证明了第一次成分的自同构群就是酉图的自同构群在顶点[e1]上的固定子群.我们研究了特征为2的有限域上的奇异正交图的次成分.利用正交群在图上的作用,我们计算了奇异正交图次成分的参数.根据参数可知,第一次成分除了最小的情况以外均是强正则图,第二次成分是拟强正则的以及边正则图.我们还确定了第二次成分的自同构群.对于酉图和正交图的次成分的研究丰富了代数图论的内容，为进一步研究具有良好对称性的图提供了新的方法。