最优控制问题混合有限元超收敛性研究

最优控制问题有极其广泛的应用，它的数值计算在应用过程中尤为重要，有限元方法是数值计算中采用最多的一种，其理论分析和算法实现已渐趋完善。混合有限元方法最适合求解流体控制问题，目前在工程应用领域中已有实现，但其理论工作很少。本项目首次研究最优控制问题混合有限元超收敛性质。由于这类问题是以偏微分方程为约束控制的最优化问题，其本质为非线性的，因此增加了分析的难度。我们将克服控制变量在自由边界处的低光滑性所带来的困难，寻找控制混合元解在点、线、面等处的局部超收敛性质，构造混合有限元解的重构算子，运用后处理技术证明并得到具有整体超收敛性的离散解，证明重构型的后验误差估计，据此设计自适应网格算法，从而提高最优控制问题混合有限元方法的算法效率。我们的工作将依次考虑椭圆型控制、抛物型控制、边界控制和参数控制等等，严密分析目标泛函和约束集合等各种情形，并进一步研究其状态方程为非线性偏微分方程的最优控制问题。