复Banach空间的若干几何性质研究及其在C*-代数中的应用

Geometric theory of complex Banach spaces has received great attention from local and foreign experts in mathematics. It has important applications in various branches of knowledge, among others in martingales theory, operator theory, harmonic analysis, differential equations and hydrodynamics theory. Because of its complicacy, the study of this subject has not been fully investigated. This project will discuss the complex convexity of Orlicz-Sobolev spaces by aid of research methods of the complex convexity of Orlicz spaces and characteristic of Orlicz-Sobolev spaces. Furthermore, the relationship between complex convexity and monotonicity will be revealed. Meanwhile, research on complex smoothness will be supplemented. The concepts of complex weakly smooth points and complex weak smoothness in complex Banach spaces will be introduced, and criteria of some properties such as complex smoothness in Orlicz-Sobolev spaces will be discussed. The concepts of the complex extreme point and the complex strongly extreme point will be introduced in C*-algebras, the relationship among the identity element, the complex extreme point and the complex strongly extreme point will be announced, and then the complex convexity of C*-algebras will be discussed. This project will not only enrich the geometric theory of complex Banach spaces, which will be combined with C*-algebras tightly, but will widen the applied fields of the geometric theory of complex Banach spaces.

复 Banach 空间几何理论已经引起了国内外数学工作者的广泛关注，它在鞅论、算子理论、调和分析、微分方程、流体力学等学科中有着重要应用，但由于其自身的复杂性，目前对该理论的研究尚不完备。本项目拟借助 Orlicz 空间复凸性的研究方法，结合 Orlicz-Sobolev 空间的特性，讨论 Orlicz-Sobolev 空间的复凸性，揭示复凸性与单调性的关系。同时，完善复光滑性方面的理论研究，在复 Banach 空间中引入复弱光滑点和复弱光滑性的概念，解决 Orlicz-Sobolev 空间中复光滑性的判据等问题。将复端点、复强端点引入到 C*-代数中，研究单位元与它们的关系，进而讨论 C*-代数中的复凸性。本项目不仅可以丰富复 Banach 空间几何理论，而且将其与 C*-代数紧密结合，拓宽了复 Banach 空间几何理论的应用领域。

复 Banach 空间几何理论已经引起了国内外数学工作者的广泛关注，它在鞅论、算子理论、调和分析、微分方程、流体力学等学科中有着重要应用，但由于其自身的复杂性，目前对该理论的研究尚不完备。本项目借助 Orlicz 空间复凸性的研究方法，讨论了Orlicz-Sobolev 空间、赋p-Amemiya范数的Musielak-Orlicz序列空间、Orlicz模函数空间和Orlicz模序列空间的复凸性和复光滑性问题，给出了复端点、复强端点、复严格凸性、复中点局部一致凸性等几何性质的充要判据。同时，将复端点、复强端点引入到 C*-代数中，研究单位元与它们的关系，进而讨论 C*-代数中的复凸性。此外，还讨论了非扩张型映射的不动点问题，在一般的Banach空间中引入了平均非扩张集值映射的概念，分别将Nadler不动点定理和Lim不动点定理推广到平均非扩张集值映射的情形, 并利用Banach几何性质、渐近稳定点序列、渐近中心等给出了平均非扩张集值映射具有稳定点的充要判据；引入了新的迭代格式, 并在一致凸的Banach空间中给出该迭代格式下广义混合映射的若干强收敛和弱收敛定理。上述结果不仅丰富了 Banach 空间几何理论，也为研究一般的复空间的几何性质提供解决问题的思想和手段，并能为其成功地应用到其他学科提供可能，所产生的新问题、新思想和新思路，能够为后续研究指明方向并奠定理论基础。