混沌系统的分析与控制

Complicated systems come from either modeling of systems which involve complicated functions or invariant manifold reduction for high dimensional systems. The complexity makes difficulties in computing coordinates of equilibria or even determining the number of equilibria. It will be more challenging to determine bifurcations, periodicity and chaos. Since such complicated systems cannot avoid in engineering, it is significant to give numerical algorithms or symbolic algorithms for some methods of qualitative analysis and bifurcation analysis. In this project, we compute decomposition of semi-algebraic systems and invariant manifolds numerically or symbolically and use them to determine equilibria symbolically and provide symbolic algorithms for focal values and numerical algorithms for Melnikov method and Shilnikov method to some high-dimensional or complicated systems. We use approximating method to determine precisely stability, periodicity and chaos for those systems. Further, combining the analysis of global implicit functions, we discuss control and anti-control of chaotic systems.

复杂系统或者来源于包含复杂函数关系的系统建模，或者来源于高维系统的不变流形化简。系统的复杂性可能导致计算平衡点甚至确定平衡点个数都非常困难，对进一步判断分岔、周期性和混沌就更有挑战性。由于这样的复杂系统在工程问题中往往不可避免，因此对一些定性分析方法和分岔判定方法给出数值算法或符号算法是十分重要的。本项目拟利用半代数系统的分解、不变流形的数值计算和符号计算，对一些高维、复杂系统给出平衡点定性性质判定、焦点量符号计算及Melnikov方法、Shilnikov方法的数值计算，以近似的方法准确地判定系统的稳定性、周期性和混沌。进而，结合全局隐函数分析研究混沌系统的控制与反控制问题。

如何判断一个实际系统尤其具有复杂形式的系统的混沌动力学行为以及其吸引子结构，进而对其动力学性质进行控制，已成为动力系统混沌研究的一个重要课题。本项目围绕这样的主题，针对具有不连续点的旋转摆系统、Sprott E（Shilnikov型混沌）系统等开展研究。首先，我们考虑一类具有不连续点的旋转摆系统的混沌问题，改进前人用于异宿分岔的Melnikov方法的数值算法以适应对同宿分岔的分析和克服不连续点导致的困难，利用符号计算与数值计算相结合，对非激励情形作出了定性分析并得到系统具有同宿/异宿、类同宿/类异宿（连接不连续的类鞍点）的参数条件，进而给出了系统在外加阻尼与周期激励作用下由（类）同宿/异宿横截相交导致的混沌发生区域。另一方面，我们构造了一类具有无穷多自激与隐藏吸引子并存的二维非线性系统，给出系统平衡点稳定与不稳定条件，利用数值计算和模拟对系统的并存吸引子、Lyapunov指数、分岔图等进行了分析，用数值方法给出了系统在外周期激励下混沌发生的参数条件。对Sprott E混沌系统在分析平衡点稳定性及无穷远相图的基础上，给出了该混沌系统的控制输入以实现系统产生稳定极限环，并用数值模拟展示出现混沌吸引子与周期吸引子并存的结构。此外，研究退化系统的规范化，具体考虑有理分式的幂函数规范化，利用极稀疏有理变换实现等价性，并利用符号计算给出规范化条件。针对迭代关系下计算，具体研究包含二次迭代和非线性项的一个泛函方程，用不动点定理和逐段构造的方法分别在具有Lipschitz条件和不具有Lipschitz条件的情形给出连续解存在性，进而给出了该解的Lipschitz依赖性和Holder依赖性结果。