互补线性码对的分析与构造

Coding circuit is one of most effective way to resist the hardware trojan attacks, side channel attacks, and other physical attacks. Linear complementary dual (LCD) codes and generalized linear complementary pairs (LCP) of codes are the kernel module in coding circuit. Using theories and tools of combinatorial design, finite geometry, and algebraic geometry, this project aims to study special codes including LCP codes, LCD codes, σ-LCD codes. This project will study: 1. the tight bounds of secure parameters of LCP codes; 2. the relation between security parameters and application cost; 3. the construction of LCP codes with optimal security and wide applications. Codes studied in this project will have great applications in theory and practice.

编码电路是目前抵御硬件木马攻击、侧信道分析以及其它物理攻击最为有效的手段之一。而编码电路最为核心的模块就是线性补对偶码(LCD码)以及其推广互补线性码对(LCP码)。本项目拟通过组合设计、有限几何、代数几何等理论和工具，对特殊的LCP码，比如LCD码、σ-LCD码以及一般的LCP码展开深入的研究：1、发展LCP码安全参数的紧的界；2、分析LCP码的实现代价与安全性水平之间的关系；3、研究具有最优安全性水平，且具有较低实现代价的LCP码的构造。这些课题的研究将具有重要的理论意义和应用价值。

本项目主要研究了线性补对偶（LCD）码和线性码互补对 （LCP）的分析与构造。我们主要取得了如下的结果：对代数编码和组合学中具有50多年历史的Assmus-Mattson定理给出了一个有效的推广，并且明了新定理的优点和有效性，由此还构造出了多类最优的LCD码，该结果被评审人称为是50年来Assmus-Mattson定理最为重要的推广；将对称多项式用于组合设计的构造，构造出了自代数编码诞生以来第一个支撑组合4-设计的线性码的无穷类，从而成功攻克了组合设计和代数编码交叉领域一个七十余年的公开问题：是否存在一个支撑4-设计的线性码无穷类，所构造的这些码由于具有好的对称结构而拥有快速的译码算法，可以被有效地用于通信当中，同时这些码也具有补对偶的特性，使其可以用于设计互补的线形码对；借助删截的Reed-Muller码给出了快速代数免疫度新的数学刻画，这不仅给出了计算密码函数快速代数免疫度新的方法，也建立起了最优快速代数免疫函数与线性补对偶码之间的对应关系，创造性地将对称密码中的快速代数攻击和抗侧信道攻击的掩码联系在了一起。上述成果均发表在信息领域旗舰期刊IEEE Transactions on Information theory。总之，通过本项目的实施，不仅解决了码的线形互补对当中诸多的理论问题，也建立了代数群、编码、密码函数与有限几何等领域之间新的联系，同时我们的结果在组合、通信与密码中都有着直接而重要的应用，包括组合设计、秘密共享，抗侧信道分析技术等诸多新的应用方向。 通过本项目的实施，我们已经在国内外知名的学术刊物如IEEE Transactions on Information Theory等上发表论文 16篇。