优良编码与安全密码函数的构造及应用

The project considers main functions involved in coding theory and symmetric.cryptography and studies their good properties. With the help of newly results in.some fundamental mathematical fields including number theory and arithmetic.geometry, we explore the effective computation involved in some character sums in.coding theory and cryptographic functions, analyze the geometric structures in.some special algebraic varieties and discover the distribution of rational points.on these algebraic varieties. Then we apply these results to the weight.distribution of cyclic codes and the construction of bent functions, algebraic.immune functions, perfect algebraic immune functions, especially the analysis of.hyper-bent functions and algebraic immune functions. Finally, we consider the.application of cyclic codes into actual communication systems, and design.cryptographic algorithms for the lightweight cryptography in Internet of Things.

本项目将综合研究在编码与对称密码领域所涉及的重要函数以及这些函数的关键性质。利用数论，算术几何等领域的最新成果，探索在编码与密码函数构造中所涉及的一些主要特征和的有效计算，以及发掘所出现的特殊代数簇的几何结构，并进一步揭示这些代数簇上有理点分布的规律。再将上述关于特征和与代数簇有理点分布的理论研究结果，用于循环码的重量分布，Bent函数，代数免疫函数，完美代数免疫函数等的构造，特别是超Bent函数与代数免疫函数的分析。最后，考虑这些循环码在实际通信系统中的应用，以及设计适合与物联网等应用安全要求的轻量级的密码算法。

本项目主要研究了密码函数与好的线性码的分析与构造。在密码函数方面，我们主要取得了如下的结果：给出了Dillon型超Bent函数新的构造；证明了某些类型的Dillon函数不可能是超Bent函数；完全刻画了广义Bent函数和广义Plateaued函数，这解决了关于广义Bent函数刻画方面一系列的猜想。在编码方面，我们构造出了新的2-拟完全Lee码，建立了2-拟完全Lee码与Ramanujan图之间的关系；我们首次利用代数几何工具构造了补对偶的代数几何码，其中包括大量的最优码或几乎最优码，这些码可以直接用于设计抵抗物理攻击的掩码方案设计当中；我们利用二次函数，正则Bent函数构造了几类重量数较少的线性码，而且给出了它们的重量分布，这解决了丁存生教授提出的关于确定一类线性码重量分布的猜想，也给出Bent函数一种全新的应用，建立了密码函数与编码之间一种新的联系，不仅如此，这些码在秘密共享方案的实现当中也有着非常重要的应用。总之，通过本项目的实施，不仅解决了密码函数与编码当中诸多的理论问题，也建立了它们之间新的联系，同时我们的结果在很多领域都有着直接而重要的应用，包括秘密共享，抗侧信道分析技术等诸多新的应用方向。