线性码与自对偶码的构造研究

Construction of good linear codes is one of the fundamental problems in coding theory. This project is devoted to the sturctural properties of algebra codes over finite rings, the theory of exponential sums over finite rings and the constructing methods of self-dual codes over finite rings. By the constructed linear codes and self-dual codes over finite rings and the relationship between finite rings and finite fields, we construct good linear codes and self-dual codes over finite fields. The project is organized as follows. (1) We study the structural properties of some classes of algebra codes over finite rings. (2) We provide some constructing methods of self-dual codes and develop the theory of exponential sums over finite rings. (3) We develop the theory of skew additive cyclic codes and skew double cyclic codes over finite rings. (4) We provide some effective Gray maps from finite rings to finite fields, which will lead to the construction of good linear codes and self-dual codes over finite fields and some applications in construction of lattices, secret sharing schemes and authentication codes. In conclusion, this project will make contribution to the development of coding theory as well as their applications in mathematics and cryptography.

构造性能良好的线性码是编码理论中的一个基本问题。本项目将利用代数、数论、组合以及有限环理论研究有限环上代数码的代数结构、有限环上的指数和理论、有限环上构造自对偶码的方法，通过构造有限环上的线性码与自对偶码以及利用有限环与有限域的联系间接的构造有限域上性能良好的线性码与自对偶码。本项目研究以下内容：（1）有限环上代数码的一般性代数结构；（2）有限环上自对偶码的构造方法并发展该类环上的指数和理论；（3）有限环上的交错加性循环码与交错双循环码理论；（4）有限环到有限域的有效Gray映射以及上述各种码在Gray映射下象的特点，由此构造有限域上性能良好的线性码与自对偶码并将其应用于格、秘密共享与认证码的构造。本项目将为编码理论的发展及其在数学理论与密码学中的应用做出贡献。

本项目利用代数、数论、组合的方法研究了有限域和有限环上线性码的代数结构与性质，明确了有限环到有限域上性能良好的Gray映射，得到了参数较好的纠错码以及量子纠错码，构造了秘密共享方案与认证码。具体结果如下：（1）研究了有限域上2-维拟扭转码及2-维广义拟扭转码的代数结构，明确了迹表达式，得到了极小Hamming距离的下界；（2）研究了左二面体码的结构，给出了自正交码与自对偶码的判别条件，得到了参数较好的自对偶码；（3）研究了有限环上循环码、双循环码、常循环码、迹码、子环子码、交错拟循环码、MacDonald码等线性码的代数结构与性质，设计了有限环到有限域上性能良好的Gray映射，得到了参数较好的线性码、自对偶码、量子纠错码，构造了秘密共享方案与认证码；（4）研究了几类加性结构上循环码、交错常循环码的代数结构，确定了生成元、极小生成元集、对偶码、覆盖半径、渐进优性能等，得到了参数较好的线性码、自对偶码与量子纠错码。本项目的研究结果不仅丰富了有限域和有限环上的编码理论，而且对量子通信与密码学的发展做出了一定的贡献。