调和映照、广义调和映照及其应用

Harmonic maps and generalized harmonic maps are important objects of study in geometric analysis. They are useful tools for investigating geometry and topology of manifolds, especially for the classification and rigidity problems of geometric structures. In this project, we will use various (generalized) harmonic maps to detect the rigidity phenomenon of various geometric structures. These structures include those of Hermitian manifolds, CR manifolds, Sasakian manifolds, Quaternionic and hyperkähler manifolds, Quaternionic contact manifolds, etc. For this purpose, we will investigate existence, regularity and the unique continuation property of these (generalized) harmonic maps. We will also use various Bochner techniques to derive the rigidity of these maps. As applications, the fundamental groups of some special manifolds will be studied. Besides considering maps between smooth manifolds, generalized harmonic maps between some singular spaces will also be investigated.

调和映照和广义调和映照是几何分析的重要研究对象。它们是研究流形几何与拓扑的重要工具，尤其在流形上各种几何结构的分类和刚性问题中发挥了重要的作用。 本项目侧重于利用调和映照和广义调和映照来研究各种几何结构的刚性现象，涉及Hermitian流形、CR流形、 Sasakian流形、四元Kähler流形、hyperkähler流形、四元contact流形等。为此，我们将探讨各种(广义）调和映照的存在性、正则性、唯一延拓性，以及各种与几何结构相关的Bochner公式。我们期望利用这些Bocher公式来导出这些(广义)调和映照的刚性。作为应用，我们将研究某些特殊流形的基本群。除了研究光滑流形间的（广义）调和映照，也将探讨奇异空间之间的(广义)调和映照。

调和映照和广义调和映照是几何分析的重要研究对象。它们是研究流形几何与拓扑的重要工具，尤其在流形上各种几何结构的分类和刚性问题中发挥了重要的作用。 本项目研究了调和映照和广义调和映照的存在性、几何性质及刚性现象。这些映照涉及CR流形出发的拟调和映照、拟p-调和映照、CR流形出发的广义全纯映照，次黎曼流形出发的次椭圆调和映照等。 我们对这些广义调和映照建立了一些存在性定理，对这些广义全纯映照建立了一些Schwarz 引理和Liouville定理, 还给出了Kahler流形及Sasakian流形的某些刚性定理等。