单调不等式、消灭定理及其应用

Monotonicity is an important property of the critical points of various geometric functionals. The monotonicity formulae are useful in studying various properites of solutions to PDE, such as regularity and uniqueness, etc. Stress-energy tensors are useful tools for establishing monotonicity formulae and thus for deducing vanishing theorems. Vanishing theorems are important aspects of differential geometry and complex algebraic geometry. In this project, we will use the stress-energy tensors to establish local and global monotonicity formuale for various geometric variational problems and give vanishing theorems under suitable growth conditions. We will also investigate the vanishing theorems of soluitions of differential inequalities arising in geometry under suitable conditions. The objects include harmonic maps, p-harmonic maps, F-harmonic maps, Hermitian harmonic maps,minimal submanifolds and some typical metrics on Riemannian manifolds or Kaehler manifolds, etc. The geometric applications involve Liouville theorems of various harmonic maps, Bernstein theorems for minimal submanifolds, the rigidity and uniformization theorems of some Riemannian manifolds and Kaehler manifolds.

)：单调不等式是几何变分问题中临界点满足的一个重要性质, 它在研究解的各种性质中发挥了重要的作用，例如解的正则性和唯一性等。应力-能量张量是研究泛函能量行为，建立单调性不等式和消灭定理的重要工具。消灭定理是微分几何和复代数几何的重要方面， 它们在几何结构的刚性问题中有重要的应用。本项目拟利用应力-能量张量来研究几何变分问题中各种能量泛函，建立整体和局部的单调不等式；在能量增长性条件下，建立消灭定理。我们还将在适当的条件下研究微分不等式解的消灭定理。本项目研究对象涉及各种临界映照、临界度量，包括调和映照、p-调和映照、F-调和映照、Hermitian调和映照、极小子流形及Riemann流形和Kaehler流形上的典则度量等。几何应用涉及各种调和映照的Liouville定理、极小子流形的Bernstein定理、Riemann流形和Kaehler流形的刚性定理和单值化型定理等。

项目成员在基金资助下完成如下研究工作： (1) 我们对于Kaehler流形之间的映照的部分能量，引入了相应的应力能量张量。利用这些应力能量张量，对于多重调和映照、调和映照的部分能量建立了单调不等式，然后给出了多重调和映照或调和映照的全纯性和Liouville型结果。我们还利用应力能量张量探讨了CR映照的全纯延拓问题。 (2) 对于Herimtian流形到Kaehler流形的映照，我们引入了Hermitian 多重映照的概念，然后利用应力能量张量对于Hermitian多重调和映照的部分能量建立了单调不等式，给出了刻画这些映照的全纯性结果。(3) 我们利用应力能量张量及穷竭函数，对满足守恒率的p-形式建立了单调不等式，并用这些不等式来研究常数量曲率的Kaehler流形和某些极小子流形的刚性现象。 (4) 推导了拟Hermite 流形间拟调和映照的第二变分公式, 给出了拟调和映照若干不稳定性的结果. (5) 利用应力-能量张量，我们研究了从完备非紧黎曼流形出发的F-调和映照，在无穷远渐近条件下对F-调和映照建立了若干Liouville型定理。(6) 导出了伪黎曼流形中的伪黎曼子流形的双调和方程，证明了拟全脐双调和伪黎曼子流形具有常平均曲率，然后给出了最多具有两个不同主曲率的双调和伪黎曼超曲面的分类。