几类含时间分数导数流体方程若干数学问题的研究

In recent decades, the value of application of fractional calculus has been discovered by more and more people in the field such as Fluid Dynamics, Biology Chemistry, Finance, Electronic Engineering, Singnal Processing and so on. Since the fractional time derivative considers the influence of the past of the system to the activities of the objects and represent the memory effect of the history, this kind of models can describe the motions of the system more accurately. . In tihs project, based on the past research on the properties of the incompressible fluid equations, we will discuss the fractional Keller-Segel equations, fractional porous media equations and fractional Naiver-Stokes equations and so on. This project aims at the study of some math problems such as local existence and global existence of the solutions, regularity, blowup criteria, vanishing viscous limit of several kinds of systems with time fractional derivative using the approaches such as energy estimate, harmonic analysis and the combination with some inequalites with fractional derivatives. Also, the construction of the exact expression of the special solutions such as fundamental solution and the Lp estimate of the solutions will be given.. The models studied in this project with memory effect will play important role in real world. The investigation of these models will help to develop and improve the study of the theory of the fractianl partial differential equation and the applications in the corresponding fields.

近几十年里，越来越多的人发现了分数微积分在流体力学、生物化学、电子工程、信号处理及金融等领域的应用价值。由于含时间分数导数的模型考虑了系统过去对物体运动的影响，反映了系统对于历史的记忆效应，因此，这类模型能更准确地刻画系统的运动规律。. 在过去对不可压缩Navier-Stokes方程解的性质的研究基础之上，本项目将对分数Keller-segel方程组、分数多孔介质方程组和分数Navier-Stokes方程组等流体方程进行讨论。本项目拟利用能量估计、调和分析等方法结合分数导数不等式研究这几类方程组解的存在性、正则性、爆破准则及粘性消失极限等问题，并给出基本解等特解的表达式及解的Lp估计。. 本项目所研究的具有记忆效应的模型有着重要的实际意义，对这类模型的研究将推动分数偏微分方程理论的进一步完善和发展，并为相应领域快速发展起到促进作用。

分数微积分在流体力学、生物化学、电子工程、信号处理及金融等领域的应用越来越广泛。含时间分数导数能够反映系统对于历史的记忆效应，因此，这类模型能更准确地刻画系统的运动规律。.本项目对时空分数阶推广Keller -Segel方程组的柯西问题进行了研究，建立了基本解和解算子的Lr-Lq估计和加权估计并证明了mild解的存在唯一性、非负性、质量守恒并对mild解的爆破性做了研究。进一步，建立了时空分数阶Keller-Segel 方程组的弱解的全局存在性、质量守恒、衰减估计和超压缩性。另外，本项目还利用Lie对称分析方法、不变子空间方法、分离变量法、q-HAM方法等方法研究了推广的分数阶Harry-Dym方程、时间分数阶多空介质方程、分数阶单壁碳纳米管方程组、时空分数阶多孔介质方程、带有非线性对流项的时空分数阶多孔介质方程和时空分数阶双多孔介质方程、2+1维分数Navier-Stokes方程组和新的2+1维KdV方程组，并对所研究的方程进行了相应的对称约化，建立了这些方程（组）的群不变解和解析解等特解。同时，利用新的Noether定理，给出了时间分数阶多孔介质方程、2+1维分数阶Navier-Stokes 方程组、分数阶单壁碳纳米管方程组的守恒律。.同时对刻画流体运动的Navier-Stokes方程进行了讨论。首先利用在Lorentz空间中压力项或速度的梯度项，得到了三维空间中不可压缩Navier-Stokes方程组Leray-Hopf弱解的正则性准则。同时，项目组研究了在Lorentz空间三维空间中不可压缩Navier-Stokes方程组恰当弱解的正则性。利用Lorentz空间中速度、速度的梯度、旋度或形变张量建立了正则准则。这个结论是在Lebegues空间Gustafson等人(Commun Math Phys,2007)的推广。作为应用，我们推广了Leray关于时间爆破速率的结果，并证明了在某一特殊的Lorentz空间中弱解的奇点个数为有限。另外，还建立了三维热传导可压缩Navier-Stokes方程和非齐次不可压缩Navier-Stokes方程强解的不衰退的几类新的充分条件。最后，充分利用Meyer-Gerard-Oru型插值不等式、奇异积分算子的Ap权估计以及局部适当弱解的有关性质，通过建立新型的Caccioppoli型不等式，在更广泛的一类Morrey空间。