不可压Navier-Stokes方程的粘性消失极限问题的研究

The vanishing viscosity limit problem of the incompressible Navier-Stokes systems is a classical issue in the mathematical study of the fluid dynamical systems, and has important physical applications and mathematical interests. In the presence of physical boundary,the situation is much more complicated, and the problem become challenging due to the boundary layers, and few result has known for a long time. Recently, some important works have been done to these problems. It then gives out great opportunityies to do further studies.. In this grant, we will investigate the vanishing viscosity limit problem for the Navier-Stokes systems and the non-homogeneous Navier-Stokes systems in bounded domains with Slip or No-slip boundary conditions, and the associated bounded layer problems. For the Navier-Stokes systems, we will look for some further convergence results with slip or no-slip boundary conditions. For the non-homogeneous Navier-Stokes systems, we will look for the uniform regularity and the related convergence results under slip boundary conditions.

不可压流体力学系统的粘性消失极限问题是流体力学系统研究的经典数学问题。对理解流体的湍流运动和边界层现象有着重要的物理背景和浓厚的数学研究兴趣。尤其是当有物理边界时，由于边界层的出现，数学研究的难度更大，是极具挑战性的问题,很长一段时间曾鲜有结果。近期的工作取得了重要的进展，这为今后的研究提供了宝贵的机遇。. 本项目主要对Navier-Stokes方程和非齐次不可压Navier-Stokes方程等不可压系统在Slip或No-slip边界条件下的粘性消失极限等重要问题展开进一步深入地研究。就Navier-Stokes方程在Slip和No-slip边界条件下获得较以往更为深刻的结果；通过对相应边界条件的相容性及边界层进行深入的分析，就非齐次不可压Navier-Stokes方程在Slip边界条件下获得原创性的收敛性结果。

消失粘性极限问题是流体力学方程中一类非常重要的问题。具有显著的实际物理背景，其数学理论具有极大的挑战性，是偏微分方程理论领域的前沿热点与难点。本项目围绕流体力学方程的消失粘性极限问题开展研究，得到了一些重要结果：证明了三维不可压MHD方程在一类边界条件下的适定性理论与粘性消失极限，发现了当磁场提出完全绝缘边界条件时，不会出现强边界层现象；建立了三维非齐次不可压MHD方程在一般的光滑有界区域上带相关的Slip边界条件时的适定性理论，在速度场和磁场满足Navier-slip边界条件情况下，我们证明了关键的Stokes系统的估计；在周期域上，我们建立了n维高耗散Boussinesq系统弱解的整体存在唯一性并得到消失热扩散极限；构建了带阻尼项的微极流体方程组的适定性理论；得到了一类热带气候模型的唯一整体强解并得到了解的长时间衰减行为；建立了二维可压Full Navier-Stokes方程在临界空间中关于密度和温度的爆破准则。本项目的研究，发展了一些边界项和非线性项的处理技巧，从而丰富和发展了流体力学方程消失粘性极限的数学理论。