不可压缩流体力学方程粘性消失极限问题

In this Project, we focus on discuss on the vanshing viscosity limits of incompressible Navier-Stokes equations under threshold boundary conditions and the vanishing viscosity and elastic-viscosity limits of the second grade fluids equations with Dirichlet boundary conditions. Firstly, by the global existence of radial solutions of second grade fluids equations, one expect to verify that the solutions of second grade fluids equations converge to the one of Euler equations as both parameters go to zero. Following the problem, we start to study the Navier-Stokes equation with threshold boundary conditions, and expect to get the global existence in 2D case and uniform estimates for high order deritives, respectively. We, then, make use of the theory of boundary layers to discuss the viscosity limits for this model. These results for well-posedness and inviscid limits problems are helpful to provide different views and methods on the vanishing viscosity limits problem of Navier-Stokes equations under Dirichlet boundary conditions.

该项目主要是讨论不可压缩Navier-Stokes 方程具有邻接（Threshold）边界条件的粘性消失极限问题以及具有Drichlet边界条件的二阶流体方程的粘性和粘弹性系数同时消失极限。首先利用二维二阶流体方程在Drichlet边界条件的径向对称解具有全局存在性验证当上述两系数消失时二阶流体方程的解趋于Euler的解。接着研究Navier—Stokes方程在邻接边界条件下，在二维空间中的解全局存在性和一致高阶问题.然后根据相关的边界层理论考察其粘性消失极限问题。 研究这类模型在有界域上的适定性问题和粘性消失极限问题有助于进一步拓宽研究Navier-Stokes方程在Dirichlet边界条件粘性消失极限视野和方法。

流体力学方程组中的粘性消失极限问题在海洋运动、大气物理、量子力学等理论及工程等方面具有广泛的应用，特别是Navier-Stokes方程组收敛到欧拉方程组一直以来是极具挑战的公开问题之一。然而其数学上严格验证该问题的研究甚少。.本项目在流体力学方程组中的粘性极限理论方面取得了一系列成果，包括：研究几类不可压缩Euler方程相关正则化模型即Euler-α与Euler-Voigt方程的奇异极限，得到了Euler-α方程组的在周期边界条件下的奇异极限，从Euler-α方程组出发匹配Euler方程组导出了边界层方程并且得到了其全局解析解的存在性。证明了Euler-Voigt方程组的全局存在性和正则性，证明了Euler-Voigt方程组收敛到Euler方程组的充要条件。从Euler-Voigt方程组出发导出其边界层方程同时得到的局部适定性。证明了密度为真空的非齐次Navier-Stokes方程组的整体存在性。验证了不具有磁扩散的磁流体流体局部存在性，证明了不带热扩散的超耗散的Boussinesq方程的全局存在性，以及也研究流体相关的微分算子的一些重要的代数性质。.本项目的研究有助于深刻理解流体粘性消失、真空状态及边界层影响流体运动的机制，为探索湍流理解、边界层理论、计算流体力学、物理实验及应用提供数学理论指导。