粘性不可压缩流体最优控制问题的数值分析

Fluid flow exists various aspects of human activities. As the impact of fluid mechanics expanding to many areas in the recent years, people often encounters such problem in engineering applications: how to control the external conditions of the flow fields such as the temperature, the volume force and the boundary conditions to obtain or get closest to the flow field which has observed velocity, pressure and boundary. This project will establish the optimal control model problems governed by Navier-Stokes flow, analyze the optimality conditions, study the numerical approximations of the fluid control system, give a priori optimal order error estimates, further derive a posteriori error estimate and establishment of adaptive finite element method . It will provide a effective way to discover the instrinsic relations between the external conditions and the states of the viscous incompressible flow fields by studying the above problems.

流体运动存在于人类生产生活的各个方面，随着流体力学的影响向各个领域不断扩展，人们在工程应用中会遇到这样的问题：如何控制流场的外部条件，比如流场的温度、体积力以及边界条件，才能获得或最接近具有所期望的速度、压强以及边界条件的流场。本项目将对Navier-Stokes流建立最优控制模型，分析该系统的最优性条件，研究该流体控制系统的数值逼近工作，给出最优阶的先验误差分析，进一步推导后验误差估计并建立自适应有限元算法。该项目的研究，将为揭示粘性不可压缩流场中外部条件与流场状态之间的内在联系提供一种有效的解决方法。

流体力学的经典问题，是根据一定的初始流场与外部条件，例如温度、体积力与边界条件，来分析和预测流场的速度、压强、能量转换与各种损耗。随着流体力学研究的逐渐深入，经常出现这样的问题：如何控制外部条件或者给出怎样的初始流场，才能在确定系统中获得流场的速度、压强、边界条件等流体状态变量达到或最接近期望状态？本项目针对粘性不可压缩流体的流动现象，提出最优控制模型问题，工作中将稳态Navier-Stokes（以下简称N-S）流体看作控制系统，把流场的体积力看做控制变量，围绕该最优控制系统的理论分析与数值逼近工作进行了系列研究：. 首先，项目建立N-S 流为控制系统的状态整体受限（可以有多个限制条件）的数学模型，分析该非线性控制问题的一阶与二阶最优性条件。对连续模型进行有限元离散，给出离散格式数值解的收敛性分析与先验误差估计。. 然后，对该N-S 流最优控制问题的有限元离散进行后验误差分析，给出离散单元上各个离散变量的误差指示子，证明了该指示子整体上与有限元离散误差的渐进等价性，基于此，本项目建立了最优性条件有限元离散方程组的自适应有限元算法，并进行数值实验进行验证。同时，本项目对该非线性最优控制问题的求解，借鉴了其他学者求解非线性椭圆问题的半光滑牛顿算法，数值实验证明了算法的效率要优于梯度算法与求解Stokes相应问题的Uzawa算法。. 最后，为了更加深入地探讨控制与状态双收限的N-S流最优控制问题，为进一步的后续工作做准备，本项目还对控制变量与状态变量双收限的半线性椭圆问题进行了有限元分析，得到了比现有文献中结果更优的先验误差估计，并且给出了关于控制变量逼近的超收敛分析。. 本项目的研究工作，为揭示粘性不可压缩流场外部条件与流场状态之间的内在联系提供了一种有效的解决方法，同时，也为其他更复杂形式的流体控制问题（例如流体的边界控制问题，以及3维注塑成型控制问题等工业应用）的进一步研究提供了具有参考意义的工作方法。.