Teichmüller空间与渐进Teichmüller空间若干问题

The main aim of this project is to study the geometry in Teichmüller spaces and asymptotic Teichmüller spaces. It contains three subjects. (1) We introduce the conception of angle in Teichmüller spaces and use it to study the convexity and geodesic disks. We also consider the geodesic problem in the T0-subspace. (2) We investigate the substantial points and non-substantial points in asymptotic Teichmüller spaces separately and try to reveal the configuration of geodesic geometry in asymptotic Teichmüller spaces. (3) We will investigate the relation between the asymptotic Bers space and the asymptotic Teichmüller space. With the help of the proof of Schoen's conjecture by Markovic, we explore the asymptotic boundary behavior of quasiconformal harmonic maps.

本项目主要研究以下内容：（1）在Teichmüller空间里引入角度概念，并利用它来研究空间凸性及测地盘等问题。我们也关心T0子空间的测地线问题。（2）分别考察渐进Teichmüller空间中本性点与非本性点，以图弄清楚渐进Teichmüller空间的测地几何性态。（3）考察渐进Bers空间与渐进Teichmüller空间之间的联系，借助于最近由Markovic解决的Schoen猜想来研究拟共形调和映射的渐进边界行为。

本项目主要研究以下内容：（1）在Teichmüller空间里引入角度概念，并利用它来研究空间凸性及测地盘等问题。我们也关心T0子空间的测地线问题。（2）分别考察渐进Teichmüller空间中本性点与非本性点，以图弄清楚渐进Teichmüller空间的测地几何性态。（3）考察渐进Bers空间与渐进Teichmüller空间之间的联系，借助于最近由Markovic解决的Schoen猜想来研究拟共形调和映射的渐进边界行为。.主要进展表现以下四个方面：.(1) 在渐进Teichmüller空间，我们建立了双元无穷小度量形式。证明了在一个稠密的开子集上， 渐进Teichmüller空间中的点与基点都有无穷条测地线连接。其次，我们完整解决了渐进Teichmüller空间中测地盘问题，证明了过任意两点的测地盘必有无穷多个。.(2) 我们证明了如果极值不唯一，则在其Teichmüller等价类中，必存在无穷多个弱极值不可缩扩张；而且我们在无穷小Teichmüller空间中得到平行的结果。.(3) 我们讨论了极值不可缩扩张，给出了一系列非坍缩型的极值不可缩扩张的构造方法。.(4) 我们建立了拟共形调和映射的边界局部可微性与角导数之间的关系，有助于进一步研究拟共形调和映射的边界行为。