拟共形映射及Teichmüller空间几何学研究

This project aims at studying quasiconformal mappings and the geometry in Teichmüller spaces and asymptotic Teichmüller spaces. We will promote the study on the extremality of quasiconformal mappings, on the basis of which we can explore the geometry in Teichmüller spaces in deeper direction. In particular, we will introduce angle in a finite-dimensional Teichmüller space and use it to characterize the convexity, the curvature property and geodesic disks in a new sight. Such new consideration will help us understand a finite-dimensional Teichmüller space to a new extent. Meanwhile, we will try to extend some classical results in Teichmüller spaces to the asymptotic Teichmüller spaces. We will consider the relations between these spaces and try to solve the non-uniqueness conjecture on geodesics in the asymptotic Teichmüller spaces. We also study the relations between Teichmüller spaces and harmonic mappings. We believe that our project will enrich and develop the theory of Teichmüller spaces and will strengthen the study in the field in China.

本项目开展拟共形映射、Teichmüller空间、渐进Teichmüller空间几何性质研究。我们将推进拟共形映射极值性研究，并在此基础上对Teichmüller空间几何进行更深入的探讨，特别地，我们将在有限维Teichmüller空间几何里引入角度的概念，并利用它来研究Teichmüller空间的凸性和曲率性质以及测地盘的属性，这些研究将有助于更好地理解有限维Teichmüller空间。同时我们拟将Teichmüller空间的一些理论成果推广到渐进Teichmüller空间上，对两个空间上的各种联系进行考察，并力图完全解决渐进Teichmüller空间中的测地线不唯一性猜测。我们还将把Teichmüller空间理论与调和映射理论结合起来，以图更深入的了解两者间紧密的联系。我们希望通过对这些重要问题的研究来丰富与发展Teichmüller空间理论，并推动国内在这一方面研究的发展。

本项目主要运用拟共形映射作为工具，对Teichmüller空间及渐进Teichmüller空间几何学性质进行研究。..在拟共形映射极值的研究上，我们取得了许多新的进展，主要表现在以下几个方面：1. 在Hamilton序列的公共性问题上有实质的推进；对Reich 序列的极限做了分析，回答了Reich的一个重要问题；2. 对局部边界扩张进行了系统的考察，得到了局部极值表示的渐进极值化；3. 进一步弄清楚了极值映射的坍缩集性质，论证了非常数模极值非坍缩映射的存在性； 分析了不可缩映射与弱不可缩映射的关系，表明他们一般是不等价的；4. 对平凡或局部平凡的Beltrami微分进行了深入的考察，建立了一个平凡类的完备空间， 其次对渐进共形类的星形性进行了考察，得到了一些实质性的例子；5. 发展了粘接拟共形映射的新方法，并估计了其最佳伸缩商。..在Teichmüller空间、渐进Teichmüller空间几何性质研究方面，我们的进展体现在：1.引入新的技巧， 在Teichmüller空间里证明了过非Strebel点与基点的测地盘有无穷多个，并且均包含相应的测地线段；2.对Strebel点的开球半径进行了研究，定量地描述了其最大可能；3. 在有限维Teichmüller空间里建立了度量的双元无穷小形式并首次引入了角度的概念，进而在Teichmüller盘问题上取得了突破性进展；4. 首次在渐进Teichmüller空间里引入本性点的概念，证明了：有无穷多条测地线连接一个非本性点与基点，其次对于任意两个点都有无穷多条直线通过，特别的我们还构造了一定的本性点，使得有无穷多条测地线连接它与基点。我们也证明了过两个点的测地盘一定有无穷多个。