随机测地线与 Teichmüller 空间上的 Lyapunov 指数

Our program aims to study applications of dynamical system and probability theory in Teichmüller space and Kleinian group. We mainly study random geodesics on (hyperbolic) Riemann surfaces, holomorphic families of representations of Kleinian groups and properties of the corresponding Lyapunov exponents. The following questions will be thoroughly studied: (1) Using geodesic flow and Brownian motion on Riemann surfaces to study the regularity and divergence of the Lyapunov exponent functions on Teichmüller space, and to study the relation.between Lyapunov exponent function and Weil-Petersson metric; (2) Studying global properties of Lyapunov exponents in special holomorphic subvarieties; (3) Understanding the action of mapping class group on the bifurcation current and mapping class group invariant measures. We will also consider extension of related works to higher dimension and non-Archimedes transformation groups. We wish to obtain some original and important results through the study of all the above questions, which will promote the development of Teichmüller space and Kleinian group theory in China.

本项目拟研究动力系统、概率论在 Teichmüller 空间和 Klein 群理论中的若干应用，主要研究 (双曲) Riemann 曲面上的随机测地线、Klein 群的表示全纯族以及相应的 Lyapunov 指数的性质。 我们将深入研究以下问题：（1）利用黎曼曲面上的测地流和布朗运动，研究 Lyapunov 指数函数在Teichmüller 空间中的正则性、发散性及其与 Weil-Petersson 度量的关系；（2）进一步，研究 Lyapunov 指数在特殊全纯子簇的整体性质；（3）研究映射类群在分叉轨迹上的作用和不变测度。我们还将考虑有关工作在高维和非阿基米德变换群的推广。我们拟通过以上问题的研究，得到一些原创性重要成果，推动国内在 Teichmüller 空间、Klein 群理论研究的发展。

主要研究 Teichmuller 度量的几何和动力系统性质，并应用于平移曲面等相关问题。主要结果包括：. （1）证明了：对于紧黎曼曲面上的任意全纯微分，至多除去有限个点，所有的正则点都有简单闭测地线经过。对于超椭圆的全纯微分，上述的有限点集是空集。论文发表在Math. Annalen 376 (2020), 583-607.. （2）证明了：Teichmuller 度量不满足曲率上界条件。论文发表在 Adv. Math. 360 (2020), 106892, 21 pp.. （3）证明了：极值长度的多重次调和性。论文发表在 International Mathematics Research Notices 21 (2017), 6411-6443.. （4）给出带边曲面 Teichmuller 度量的几乎等距模型。论文发表在 Trans. Amer. Math. Soc. 369 (2017), no. 9, 6429–6464.