Teichmüller空间上度量的若干研究

本项目将研究Teichmüller空间上的两种重要度量- - -L^2 Bergman度量和L^2 Arakelov度量。我们将主要研究下述基本问题：(1).Teichmüller空间上的L^2 Bergman度量和L^2 Arakelov度量是否是K?hler度量。 (2).L^2 Bergman度量和L^2 Arakelov度量的各种曲率性质，包括全纯截面曲率、Ricci曲率、数量曲率和截面曲率。(3).模空间关于这两种度量的紧化。(4).Weil-Petersson度量与L^2 Bergman度量的定量比较。上述研究是与Riemann曲面理论、二次微分理论以及微分几何相交叉的。这些研究将帮助人们更好地理解Teichmüller空间的几何性质。

根据项目研究方案，我们对Teichmuller空间的度量性质进行了研究，并取得了相应的进展和结果。这些结果包括L^2 Bergma度量与Weil-Petersson度量的定量比较；几何相交数与Teichmuller空间上各种度量之间的关系；Teichmuller空间中thick part关于Teichmuller度量、长度谱度量、Thurston伪度量的凸性；Beurling-Ahlfors扩张的非调和性；拟共形映射在平坦度量下的长度偏差；简单闭曲线在平坦度量下的等价性；长度谱诱导的平坦度量空间上的度量性质；平坦度量的长度谱与面积的谱刚性；调和映射的能量、Hopf微分的范数与Teichmuller空间上各种度量的定量比较。. 这些研究帮助我们更好地认识了Teichmuller空间的度量几何、以及其中所体现的具体的数量关系；通过对平坦度量的系列研究，使我们更深入地理解了平坦度量的内蕴性质，明确了平坦度量与双曲度量在几何行为上的异同，为今后进一步研究平坦度量（特别是谱刚性问题）打下了基础。