Teichmüller 空间的极值长度变分

Our program will focus on the variation theory of extremal length on Teichmüller space, and its applications in the study of curvature of Teichmüller metric and minimal surface. The following questions will be throughly studied: (1) Compute the second variational formula of extremal length via harmonic maps. (2) By estimating the second variation of extremal length along Teichmüller geodesics, give an analytic new proof of Lenzhen-Rafi's result on the quasi-convexity of Teichmüller geodesic balls. (3) Estimate the asymptotic values of extremal length and its variations, and then characterize the convergence of Teichmüller geodesics in (Thurston, Gardiner-Masur or Bers) boundary of Teichmüller space. (4) Apply the computations of second variation of extremal length to study the uniqueness problem in minimal surface theory. The study of all the above questions would improve our understanding of Teichmüller geometry and its connections with other branches of mathematics.

本项目将集中研究 Teichmüller 空间上极值长度的变分, 及其在Teichmüller 曲率和极小曲面的应用. 我们将深入研究下述问题: (1) 以调和映照为工具, 计算极值长度的二阶变分.(2) 通过估计极值长度沿着 Teichmüller 测地线的二阶变分, 用解析的方法重新证明 Lenzhen-Rafi关于Teichmüller 测地球拟凸性的结果. (3) 估计极值长度及其变分沿着 Teichmüller 测地线的渐近值, 从而刻画 Teichmüller 测地线在Teichmüller空间边界 (Thurston 边界, Gardiner-Masur 边界, Bers边界) 的收敛性. (4) 通过对极值长度二阶变分的计算, 研究极小曲面的唯一性问题. 上述研究将加深对 Teichmüller 几何的理解及其和其它数学分支的联系.

本项目研究极值长度函数在 Teichmüller 空间中的变分, 及其在Teichmüller 度量几何和极小曲面的应用. 研究问题包括: (1) 以调和映照为工具, 计算极值长度的二阶变分; (2) 估计极值长度函数在Teichmüller空间边界 的收敛性; (3) 通过对极值长度函数的估计, 研究极小曲面的唯一性问题. 取得的研究成果主要有: (1) 证明极值长度函数在Teichmüller 空间中的多重次调和性, 从而建立了极值长度函数和 Teichmüller 空间自身复解析结构的新联系; (2) 证明了Teichmüller 度量的 Gromov (horofunction) 紧化同胚于Gardiner-Masur 紧化, 从而证明任意 Teichmüller 测地射线都收敛于Gardiner-Masur 边界; (3) 利用极值长度函数的一阶变分公式给出了 Teichmüller 度量无穷小 Finsler 范数的一个表达式, 该公式是 Thurston关于双曲曲面间极小 Lipschitz 映射工作的推广. 上述研究加深了对 Teichmüller 几何的理解及其和其它数学分支的联系.