BMO-Teichmüller空间的若干问题研究

Our program will focus on topological and analytic properties of the BMO-Teichmüller spaces. By means of quasiconformal extension theory, Hardy-Littlewood maximal function and A^∞ condition from complex and harmonic analysis theory, we shall discuss topological group property of strongly symmetric homeomorphisms under BMO topology, study the pull-back measure of Carleson measure via quasiconformal mappings, and try to give a direct proof of Cui-Zinsmeister's result on the complex dilatation of the Douady-Earle extension of strongly quasisymmetric homeomorphisms. The study of all the above problems would deepen our understanding of BMO theory of the universal Teichmüller space, and promote the study of the space of all chord-arc curves which is now becoming a hot research topic in the field.

本项目就BMO-Teichmüller空间的拓扑和分析性质展开研究. 我们将利用复分析和调和分析的方法, 特别以拟共形延拓理论, Hardy-Littlewood极大函数以及A^∞条件为工具, 讨论强对称同胚群在BMO拓扑下的拓扑群性质, 研究Carleson测度在拟共形映射下的拉回测度, 拟直接证明Cui-Zinsmeister关于强拟对称同胚的Douady-Earle延拓的复特征的结果. 上述研究将加深对万有Teichmüller空间的BMO理论的理解, 并将有益于目前备受关注的弦弧曲线空间的研究.

于20世纪30-40年代，Teichmüller 本人在Riemann 模问题的研究过程中引入了Teichmüller 空间。随后，于50-60年代，经过Ahlfors、Bers 等人对Teichmüller 的工作进行了全新的诠释，Teichmüller 空间才引起了人们广泛的关注并得到了充分的研究。近些年来，一些有重要分析背景或者几何背景的子空间被相继引入。BMO-Teichmüller 空间是与调和分析中BMO 函数、Carleson 测度以及弦弧曲线、A^∞条件等密切相关的一类子空间，本项目在前人研究成果的基础上，从复分析的角度继续对BMO-Teichmüller 空间的分析以及拓扑性质展开研究。.本项目的主要研究内容以及重要结果如下：.(1)证明了强拟对称同胚群在BMO 拓扑下是一个偏拓扑群；而其特征拓扑子群是强对称同胚群。.(2)通过证明Douady-Earle 延拓诱导的Beltrami 系数之间的映射作用在VMO-Teichmüller上的连续性，证明了VMO-Teichmüller空间具有可缩性。. (3)证明了光滑Zygmund 函数向量场的流映射是对称同胚，以及Sobolev 空间H^{3/2}向量场的流映射是Weil-Petersson类同胚。.(4)我们研究了Carleson 测度和小Carleson 测度在拉回和前推算子下的不变性。作为应用，证明了弦弧曲线空间的某种商空间具有自然的复Banach 流形结构。. (5)我们证明了BMO-Teichmüller 空间三种定义之间是双全纯等价的；并且表明Douady-Earle 延拓算子作用在BMO-Teichmüller 空间上在原点是可微的。. (6)我们研究了Ahlfors-regular 区域和Carleson 测度在前推算子下的不变性之间的关系。作为应用，利用拟共形反射给出具有小范数的弦弧曲线和渐进光滑曲线一个新的特征性质。.上述研究结果加深了我们对万有Teichmuller 空间的BMO 理论的理解。我们希望这些结果能进一步应用于复分析以及调和分析相关问题的研究中，尤其是应用于有界弦弧曲线流形的连通性这一公开问题的研究中。