非线性椭圆型偏微分方程的非平凡解和多重解的研究

本项目拟将变分方法、临界点理论以及非线性泛函分析和函数空间的一些新思想、新方法有机地结合起来对非线性椭圆型方程中的一些问题进行深入的研究。主要研究一些有实际背景的非线性椭圆型偏微分方程的非平凡解和多重解的存在性和解的性质。我们拟研究的主要具体问题有：(1)Chern-Simons 理论相关的椭圆方程。Chern-Simons 理论在凝聚态物理、超导理论、量子力学等研究中有重要意义，有关该理论的一个典型问题归结为平面 上指数增长型的椭圆方程（组）。我们拟研究在多个蜗旋点处爆破的解的存在性；（2）研究失去紧性或偶性或对应变分泛函非光滑的非线性椭圆方程多解和无穷多个解的存在性和解的性质。以上列举的问题有重要的背景，是非线性椭圆方程研究中的前沿课题。开展相关的研究无疑具有重要的理论意义。本项目拟开展这方面的研究并期望取得有意义的突破。

三来年，围绕项目提出的问题，我们主要用变分方法研究了一些典型的非线性椭圆型方程的非平凡解和多解的存在性问题。如非线性项不满足Ambrosetti-Rabinowitz条件的非线性椭圆方程、具有环绕几何结构的 型方程、Kirchhoff 型方程、带电磁位势的非线性Schr dinger方程、临界指数增长的Hardy-Sobolev 方程、带临界指数增长的Hardy-Sobolev-Maz’ya 方程、某些非线性椭圆组的非平凡解和多解的存在性；量子力学中有关Gross-Pitaevskii级联的问题等，取得了一系列有意义的研究结果，拓展了现有理论。共完成科研论文29 篇，项目执行期间共发表论文 15篇，另有5篇被接受发表。依托本项目，培养了一批博士、硕士研究生。完成了预定计划。