非局部椭圆型方程（组）解的多重性及性态研究

Nonlinear fractional Schrodinger-Poisson comes from the theory of semi-relativistic quantum mechanics, which describe the solitons of a system of N semi-relativistic quantum particles, which is closely related to the Hartree-Fock-Slater theory. Meanwhile, the problem on the whole space with an integrodifferential operator of fractional Laplacian type is a general nonlocal problem, which includes the fractional Schrodinger equation as a special case. In this projection, by combining variational methods with some analytic tools from PDEs, we will study the non-existence, existence, multiplicity of solutions of the above two kind of problems, and the properties of solutions, such as concentration, decay and so on, the existence of least sign-changing solution, multiplicity of sign-changing solution and the asymptotical behavior of sign-changing solution; from a viewpoint of strongly indefinite variational problem, we study the existence, multiplicity and concentration of solutions; the relationship between the topology of global or local minima set with the multiplicity of solutions; the Caffarelli-Silvestre extension method for the above two nonlocal problems； the uniqueness and non-degeneracy of ground states and construct multi-peak solutions concentrating on some set. We will provide some new methods to study elliptic problems with nonlocal terms.

分数阶Schrödinger-Poisson方程组源于半相对量子力学多体系统孤立波的研究，与Hartree-Fock-Slater理论紧密相关。而全空间上含有一般积分-微分算子的非局部方程包含了分数阶Schrödinger方程为特例。本项目利用变分方法结合偏微分方程技巧研究上述两类问题解的非存在性, 不同位势下解的存在性和多重性，及解的性态特别是集中、衰减等性质，基态变号解、变号解的多重性及随参数的渐近行为；从强不定变分问题的新视角研究分数阶Schrödinger-Poisson方程组解的存在性、多重性及解的集中现象；位势的全局或局部极小集的拓扑与解的多重性之间的关系；这两类问题的Caffarelli-Silvestre延拓方法；基态解的唯一性和非退化性，进而构造集中在特定集合上的峰解。上述研究将为研究非局部椭圆型方程（组）提供一些新方法。

分数阶Schrödinger方程源于由Levy过程描述的随机场上粒子的量子力学研究，广泛出现在几何分析、障碍问题和自由边值问题的研究中。应用变分方法研究分数阶Schrödinger方程解的存在性及相关问题受到广泛关注。分数阶Schrödinger-Poisson方程组源于量子物理，可视为带有Hatree项的分数阶Schrödinger方程。而带有一般积分-微分算子的非局部椭圆算子包含了分数阶Laplace算子为特殊情形，这类问题解的存在性、多重性开始受到关注。本项目利用变分方法研究了以上述两类问题为代表的非局部椭圆方程，在正解和变号解的存在性、多重性及解的衰减、集中等性质上取得了一批新成果，利用变分方法结合偏微分方程的技术手段在不同位势情形（位势具有全局或局部极小、多个位势存在竞争）及不同的非线性条件下（次临界增长或临界增长）证明了分数阶Schrödinger-Poisson方程组解的存在性、多重性和集中现象，建立了解的个数与位势极小元之集畴数之间的关系，利用下降流不变集等变分工具证明了带有一般积分-微分算子的非局部椭圆方程变号解的存在性和多重性。. 项目组在Annali di Matematica Pura ed Applicata, Communications in Contemporary Mathematics, 中国科学（中、英）等国内外期刊上发表研究论文22篇，另有3篇论文被Journal of Geometrical Analysis等刊物接受发表；参与获得了云南省自然科学奖一等奖1项，培养了博士研究生2名和硕士研究生9名；与云南师范大学非线性分析研究团队一道，主办了2018年非线性分析青年学者论坛（昆明），中国数学会非线性泛函分析专业委员会2019年学术年会，非线性分析国际会议暨第21届全国非线性泛函分析会议等3个有较大影响的学术会议；应邀在中国数学会2019年学术年会、第2届非线性分析与反应扩散方程国际会议、2018年西部偏微分方程会议、非线性分析青年学者论坛等学术会议上作学术报告10余场次。