两类椭圆型方程组非平凡解的存在性和多重性

Schrodinger equation is one of fundamental equations in quantum mechanics. It has many applications in nonlinear optics, condensed matter physics and semiconductor theory. In this project, we will apply minimax methods, Morse theory and index theory in variational methods and critical point theory, together with topology methods and bifurcation theory in nonlinear analysis, to study the existence, multiplicity and properties of nontrivial solutions of two elliptic systems related to Schrodinger equation. More precisely, we will deal with: when the coupling constants are positive, existence of ground states and mulitiplicity of bound states of Schrodinger system with more than two equations; when the nonliearity is 4-sublinear at infinity or the nonlocal term has critical growth, existence and multiplicity of nontrivial solutions of Schrodinger-Poisson system; properties of solutions of these elliptic systems, including uniqueness of positive solution and concentration phenomenon of semiclassical solution; the impact of potential functions on these elliptic systems. These challenging problems are of particular interest in nonlinear analysis, and therefore have great importance in theory and application.

薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程，在非线性光学、凝聚态物理以及半导体理论中有着广泛的应用。本项目拟应用变分方法与临界点理论中的极小极大方法、Morse理论以及指标理论，并结合非线性分析中的拓扑方法和分歧理论，研究与薛定谔方程有关的两类椭圆型方程组非平凡解的存在性、个数以及解的性质等问题。具体来讲，我们拟研究：相互作用系数为正时，由多个方程耦合的薛定谔方程组基态的存在性和无穷多个束缚态的存在性；当非线性项在无穷远处次4次或者非局部项具有临界增长时，薛定谔-泊松方程组非平凡解的存在性和多重性；两类椭圆型方程组解的性质，包括正解的唯一性和半经典解的集中现象等；位势函数对两类椭圆型方程组性质的影响。这些问题是非线性分析领域的热点问题，同时非常具有挑战性，因此具有重要的理论意义和研究价值。

薛定谔方程是量子力学中的一个基本方程，在非线性光学、凝聚态物理以及半导体理论中有着广泛应用。本项目应用变分方法与临界点理论、拓扑方法以及一些分析技巧，研究了几类与薛定谔方程有关的椭圆型方程（组）非平凡解的存在性、个数以及解的性质等问题。我们主要在如下方面取得重要进展：（1） 对于次临界增长的薛定谔方程组，获得了基态解的存在性、渐近性质以及多个非平凡解的存在性结果；对于临界增长的薛定谔方程组，证明了高能量解的存在性，将Benci和Cerami的结果推广到方程组的情形；研究了耦合Hartree方程组，证明了极限方程组正解的唯一性，进而获得Hartree方程组高能量解的存在性结果。（2）对于分数阶薛定谔-泊松方程组，分别考虑非线性项具有次临界增长和临界增长的情形，应用Nehari流形和集中紧性原理，证明了基态解的存在性。（3）对于拟线性薛定谔方程，应用单调性技巧、扰动方法和非光滑临界点理论，获得了正解的存在性、多解的存在性以及多个变号解的存在性等结果。（4）对于变指数椭圆型方程，证明了无穷多个小解和无穷多个大解的存在性。这些结果丰富和完善了非线性分析领域的相关理论，推动了变分方法与偏微分方程分支的发展。