关于二阶椭圆型方程组的非平凡解的研究

本项目拟运用非线性分析中的拓扑方法和临界点理论研究二阶椭圆型方程组的非平凡解的存在性与多重性。在理论上，针对非变分结构的二阶椭圆型方程组的非平凡正解的存在性研究，建立乘积空间中的拓扑度理论及乘积锥上的不动点指数理论；针对含双参数的二阶椭圆型方程组的非平凡正解的多重性研究，建立乘积序区间上的恒等映射的紧致扰动的拓扑度理论；针对位势型变分结构的二阶椭圆型方程组的非平凡解的存在性与多重性研究，建立乘积空间中的临界点理论。在应用中，运用乘积锥上的不动点指数理论处理带"超-次线性"项的二阶椭圆型方程组的非平凡正解的存在性；运用乘积序区间上的恒等映射的紧致扰动的拓扑度理论处理含双参数的二阶椭圆型方程组的非平凡正解的存在性与多重性；运用乘积空间中的临界点理论分别处理带"超线性"项的位势型变分结构的二阶椭圆型方程组、含单参数的位势型变分结构的二阶椭圆型方程组的非平凡解的存在性、多重性。

按照本项目的研究计划，我们主要研究了非线性二阶椭圆型方程或方程组的非平凡解。在理论方面，我们推广了乘积锥上的紧连续映射的不动点指数的乘积公式及乘积空间上的环绕定理；并且，针对二阶椭圆型方程组，我们建立了乘积序区间上的紧连续场的拓扑度计算方面的结果。在应用方面，主要研究了：带“超-次线性”项的半线性二阶椭圆型方程组的非平凡正解的存在性；带双参数的半线性或拟线性二阶椭圆型方程组的非平凡正解的存在性与多重性；带单参数的拟线性二阶椭圆型方程组的非平凡解的存在性；全空间上的非局部的p-Kirchhoff型方程的正解的存在性及带加权凹凸非线性项的半线性双调和方程的正解的多重性。同时，项目组成员孙义静教授重点研究了非线性负指数的奇异椭圆型方程的非平凡解的存在性与多重性；合作者杨璐博士重点研究了耗散型发展方程的吸引子的存在性与结构。