几类非局部型非线性泛函的临界点的存在性和集中性的研究

Using the methods of Calculus of Variations together with the critical point theory, we will study in this program the existence and concentration together with the multiplicity and the asymptotic properties of the critical points of several classes of nonlocal nonlinear functioncals correcponding to several nonlocal nonlinear elliptic equations. We will carry out our research in the following aspects: the existence of multiple critical points of energy fucntionals relative to a Kirchhoff- type equation with critical exponent on a bounded smooth domain in R^N with shrinking holes; the Lazer-Mckenna conjecture concerning Kirchhoff-Ambrosetti-Prodi type problems on bounded domains in R^N with critical exponent; the existence of infinitely many critical points of the energy functional of a Dirichlet zero - boundary value problem of a typical Kirchhoff- type equation on a bounded smooth domain in R^N ; the concentration and asymptotic properties of critical points of the energy fucntional of a singularly perturbed Kirchhoff type problem on a bounded domain in R^N ; the concentration and asymptotic properties of critical points of the enegy functional of a fractional Laplacian- type problem on a bounded smooth domain in R^N and normalized critical points to functionals relative to several classes of Hartree equations. We expect to make significant progresses in the research of the above problems.

本项目拟利用变分方法结合临界点理论研究几类非局部型的非线性泛函的非平凡临界点的存在性、多重性和集中性。具体研究的问题有：R^N中去掉若干个洞的有界光滑区域上的临界指数Kirchhoff型问题的能量泛函的多个临界点的存在性、R^N中有界光滑区域上的临界指数Kirchhoff-Ambrosetti-Prodi型问题的Lazer-Mckenna猜测、R^N中有界光滑区域上的一类典型的临界指数Kirchhoff型方程的Dirichlet零边值问题的能量泛函的无穷多个临界点的存在性、R^N中有界光滑区域上一类含奇异摄动的Kirchhoff型方程的能量泛函的临界点的集中性和渐近性态、R^N中有界光滑区域上一类奇异摄动的含临界增长的分数阶Laplace型问题的能量泛函的临界点的集中性和渐进性态以及对应于Hartree方程的泛函的规范化临界点的存在性等问题。

非线性泛函分析是数学中的重要研究分支，而变分方法和临界点理论是非线性泛函分析的重要方向。自从1973年Ambrosetti-Rabinowitz的山路引理问世以来，变分方法和临界点理论已成为研究非线性椭圆方程（组）的解的存在性的最为有效的工具。按照变分方法的思想，方程（组）的弱解可以看成是方程（组）对应的能量泛函在适当的函数空间（如Sobolev空间）中的临界点从而可以用临界点理论来得到方程的解。本项目利用变分方法研究了几类有实际背景的非线性椭圆型方程(组)如Kirchhoff型方程、双调和方程、Schrödinger -Poisson 系统、Gross-Pitaevskii 方程、拟线性Schrödinger方程、Hartree-Fock方程、Choquard方程、分数阶p-Laplace型方程等对应的非线性分泛函的临界点的存在性、多重性和其他性质。. 在过去4年中，我们在上述方面的研究中取得了一系列有意义的进展。例如：我们得到了临界和次临界Kirchhoff型方程的正解的非退化性从而为用约化方法得到Kirchhoff方程的多峰解打下了基础；得到了Kirchhoff方程的多峰解的存在性和局部唯一性；得到了带位势的Kirchhoff 方程的规范化解的存在性和集中性质；证明了分数阶Choquard方程的多重规范化解的存在性；证明了具有部分约束的带3次项的非线性Schrödinger方程的稳定驻波解的存在性；我们证明了改进的含Morrey 范数的Sobolev 不等式并成功地用它们证明了含分数阶Laplace 和Hardy项的双临界方程的非平凡解的存在性；证明了带有陡势阱位势Gross-Pitaevskii方程的基态解的存在性和集中行为；带van der Waals 型位势的Schrödinger 方程的规范化驻波解的存在性以及Kirchhoff 方程的Hopf型引理等等。. 我们在国际期刊上发表论文26 篇；项目执行期间完成了对 4 名博士研究生、 6 名硕士研究生的培养。我们认为我们实现了项目的目标。