丛理论相关的代数表示

This is a proposal on representation theory of finite-dimensional algebras related to cluster theory.It conerns tau-tilting theory of finite-dimensional algebras and DT-invarints over cluster-tilted algebras. More precisely, we are interested in the followings: (1) We will define c-vectors for any given finite-dimensional algebra via tau-tilting theory and study the relationship between c-vectors and the dimension vectors of indecomposable modules. In particular,after proving the sign-coherence property of c-vectors,we will establish the exactly relationship between c-vectors and the dimension vectors of indecomposable tau-rigid modules for certain important classes of algebras. (2) We also investigate the dimension vectors of indecomposable tau-rigid modules. For algebras arising from cluster tubes, we will prove that different indecomposable tau-rigid modules have different dimension vectors. Moreover, its relationship with the c-vectors and d-vectors of cluster algebras of type C will be discussed too. (3) For cluster-tilted algebras, we study the relationship between weight Euler characteristic and Euler characteristic for the Hilbert schemes associated to representation theoy. After proving the existence of Hall polynomials for representation-finite cluster-tilted algebras and algebras arising from cluster tubes, we will establish the integration map from the Poisson algebra of Hall algebra to suitble torus.

本项目主要研究与丛理论相关的有限维代数的表示理论,主要涉及有限维代数的tau倾斜理论与丛倾斜代数的DT-不变量理论。具体包含如下内容：(1)受丛代数理论的启发，利用tau-倾斜理论定义有限维代数的c-向量并证明该c-向量仍具有符号一致性；研究c-向量与该代数的不可分解模的维数向量的关系，对某些重要代数类给出c-向量与不可分解模的维数向量的精确联系；(2)研究不可分解tau-rigid模的维数向量的唯一性问题，对丛管子中出现的有限维代数证明其不可分解tau-rigid模由其维数向量唯一确定。作为应用，研究其与C型丛代数的c-向量、d-向量的关系；(3)研究丛倾斜代数的表示定义的Hilbert概型上的加权欧拉特征与欧拉特征的关系，期望证明他们只相差一个符号；建立表示有限型丛倾斜代数及丛管子中出现的有限维代数的Hall代数上的可积映射，利用所得结果研究相应的DT-不变量。

本项目主要研究与丛理论相关的有限维结合代数的表示理论以及其与丛代数的交叉，主要涉及如下内容：.（1）利用tau-倾斜理论定义了有限维代数的c-向量并证明了该类c-向量具有符号一致性；讨论了几类重要的结合代数的正c-向量与不可分解模的维数向量的关系，重新得到了Chavez关于有限型丛代数与acyclic丛代数的c-向量的表示论刻画；在此基础上给出了反对称型丛代数c-向量的符号一致性的一个新的简短的证明；.（2）证明了tame型丛倾斜代数上的不可分解tau-rigid模由其维数向量唯一决定，作为应用对于tame型丛代数，证明了Fomin-Zelelvinsky的分母猜想的一个弱形式：不同的丛变量具有不同的分母向量；对丛管子中出现的有限维代数证明了其上的不可分解tau-rigid模由其维数向量唯一决定。作为应用建立了其与相应的C-型丛代数的c-向量、d-向量的精确关系，并对ABC型丛代数证明了Fomin-Zelevinsky的分母猜想的一个弱形式：同一个丛的丛变量的分母向量在有理数域上线性无关；利用代数表示论，建立了C-型丛代数的Caldero-Chapoton公式；.(3) 建立了表示有限型丛倾斜代数的Hall代数上的可积映射； 给出了Feigin类型映射的一个统一证明，在此基础上给出了Feigin关于有限型量子包络代数的正部分到相应的量子多项式环代数的单态猜测的一个代数表示论的证明。