高维丛倾斜相关的代数表示

The research as proposed concerns representation theory of finite dimensional algebras related to higher cluster tilting theory, which will provide a new perspective for the improvement of the tau-tilting theory, and provide new techniques for the research of higher homological algebra. Specifically, this project contains the following topics. By using Keller-Reiten type equivalence, we will consider tau-tilting theory of endomorphism algebras of higher cluster tilting objects in higher Calabi-Yau triangulated categories, and study the relationship between tau-tilting modules (support tau-tilting pairs) over endomorphism algebras and higher cluster tilting objects in higher Calabi-Yau triangulated categories. Furthermore, we plan to investigate the relationship between complements for almost complete support tau-tilting pairs and the corresponding complements for almost complete cluster tilting objects. Finally, we will study t-structures in higher homological algebra.

本项目计划研究与高维丛倾斜相关的有限维代数的表示理论，这将为tau-倾斜理论的完善提供新的视角，并为研究高维同调理论提供新的手段。主要包含以下内容：利用Keller-Reiten型等价研究高维Calabi-Yau三角范畴中的高维丛倾斜对象的自同态代数上的tau-倾斜理论，刻画自同态代数上的tau-倾斜模（支撑tau-倾斜对）与高维Calabi-Yau三角范畴中的高维丛倾斜对象之间的关系；研究几乎完全支撑tau-倾斜对的补与相应的几乎完全丛倾斜对象的补之间的联系；研究高维同调理论中的t-结构。

范畴化丛代数是代数表示论过去20年间最核心的研究热点之一。本项目研究与高维丛倾斜相关的有限维代数的表示理论，主要涉及高维Calabi-Yau倾斜代数上的tau-倾斜理论和高维同调理论中的t-结构，取得的主要结果如下：.1. 利用Iyama-Yoshino等价研究了高维Calabi-Yau三角范畴中的高维丛倾斜对象的自同态代数上的tau-倾斜理论，刻画自同态代数上的tau-倾斜模(支撑tau-倾斜对)与高维Calabi-Yau三角范畴中的高维丛倾斜对象之间的关系。研究了更一般的极大rigid对象R，证明了存在R-表示子范畴中的不可分解刚性对象与R的自同态代数上的不可分解tau-刚性对象之间存在一一对应，并且此对应诱导了子范畴中的极大刚性对象与自同态代数上的支撑tau-倾斜对之间的一一对应。.2. 在高维Calabi-Yau三角范畴上定义了关于高维刚性子范畴的相对高维丛子范畴和相对高维极大刚性子范畴，并证明了共变有限相对高维极大刚性子范畴与相对高维丛子范畴一致。.3. 从三角范畴中的admissible阿贝尔子范畴出发，证明了其中的高维刚性子范畴在某些条件下可诱导t-结构，并且该t-结构的心恰好就是该阿贝尔子范畴。..此外，本项目还额外研究了G2型丛倾斜代数，证明了其上的不可分解tau-刚性对象的秩向量恰为G2型丛代数的正c-向量。