代数表示论与椭圆李代数的相关问题研究

本项目主要研究齐次椭圆李代数的范畴化及非齐次椭圆李代数的顶点算子实现问题。这是李理论和代数表示论交叉联系的一个重要课题，主要涉及整体维数有限的有限维代数的根范畴的2-周期三角范畴性及其Grothedieck群的刻画和Ringel-Hall李代数的结构。具体为，对一般的（非）齐次椭圆李代数，通过单点扩张的方法构造有限维代数，使得其根范畴的Ringel-Hall李代数实现相应的根格和椭圆李代数；运用带自同构的顶点算子代数实现非齐次椭圆李代数和扭的toroidal李代数，并且应用所得结果进一步考察由此产生的代数表示论与奇点理论的联系，特别是与14种特殊奇点的联系。

本项目主要研究代数表示论与椭圆李代数、顶点算子代数的交叉。1）为了寻找合适的2-周期三角范畴范畴化Saito-Yoshii等人意义下的A、D型椭圆李代数，对任意的整体维数有限的结合代数，我们利用Keller的三角包定义了该代数的广义根范畴，证明了其为2-周期三角范畴并刻画了相关的性质。利用广义根范畴给出了Slodowy关于广义相交矩阵代数的0-空间的问题的新的反例。对任意的A、D型椭圆李代数，存在着不唯一的有限维代数使得其广义根范畴的Grothendieck群实现相应的椭圆李代数的根格。我们将在后续工作中研究相应代数的Ringel－Hall李代数与椭圆李代数的关系； 2）研究了由球形对象生成的代数三角范畴的广义根范畴，并刻画了其Ringel－Hall李代数的结构常数。3）利用格顶点算子代数的构造对任意的整体维数有限的结合代数引入了Bordcherds型代数，研究了其与Ringel－Hall李代数的关系。特别地，对tubular型canonical代数、表示直向代数、表示有限型preinjective incidence代数，证明了其Borcherds型代数与相应的Ringel－Hall李代数同构。