三角矩阵代数的表示理论及丛代数的结构研究

This program mainly involves algebraic representation theory and cluster algebra theory, and attempts to study the following two aspects: first, the representation of triangular matrix algebras, trying to construct the cotorsion pairs on triangular matrix algebras through some special functors, discussing the global dimension of triangular matrix algebras, and studying the injective representation of triangular matrix algebras in infinite order; second, the structure of cluster algebras, whether or not the cluster algebra is mutation-acyclic has a great influence on its properties, so we try to give the condition of the cluster algebras which are mutation-acyclic. At the same time, we try to categorize the symmetrizable cluster algebras and construct the CC-formula for the symmetrizable quantum cluster algebras, and discuss their relationship with the canonical basis of the corresponding quantum unipotent subgroup.

本项目主要涉及代数表示理论和丛代数理论，试图进行以下两方面的研究：一是三角矩阵代数的表示研究，尝试通过特殊的函子构造三角矩阵代数上的余挠对，讨论三角矩阵代数的整体维数情况，研究无限阶情形下三角矩阵代数的内射表示；二是丛代数的结构研究，丛代数是否变异无圈对其性质有很大影响，因此尝试给出丛代数变异无圈的条件，同时试图对可斜对称化的丛代数做范畴化，对可斜对称化的量子丛代数，尝试构造上面的CC-公式，以及讨论其与对应量子幺幂子群的典范基之间的联系。

箭图表示理论给了我们一个非常形象和可视化的方式去研究代数。许多箭图表示理论的结果被推广到赋值箭图、带关系的路代数、代数上的路代数、广义路代数上。三角矩阵代数是一类更广泛的代数，可以将上述代数统一起来。本项目结合路代数、广义路代数、代数上的路代数、带关系的路代数等等方面的最新研究方法和研究成果，对三角矩阵代数的表示理论进行刻画。主要得出如下结论：.1.构造三角矩阵代数表示的一对特殊的伴随函子；.2.由这对伴随函子得到三角矩阵代数的余挠对；.3.利用函子给出了任意三角矩阵代数表示的内射包的刻画；.4.给出三角矩阵代数的所有不可分解内射表示。