若干最优控制问题的有限元方法

本项目拟研究若干具有重要应用背景的偏微分方程最优控制问题的有限元方法。我们将重点研究边界控制、状态受限控制、对流占优方程最优控制、参数估计问题及一些非线性最优控制问题，这些问题不仅在大气污染控制、地质灾害预测、石油勘探与开采及材料设计等实际应用领域有十分广泛的应用前景，而且在偏微分方程、最优控制、有限元分析等数学理论方面也有重要的理论意义。我们将针对上述各类最优控制问题的特殊性，构造适用于不同问题的有限元、混合元、DG格式及优化算法，研究算法的误差（包括先验误差估计和各类后验误差估计），并在深入研究误差分析的基础上，进一步发展和完善偏微分方程最优控制问题有限元后验误差估计技术，发展自适应有限元算法及应用软件，提高计算效率。在理论分析和数值实验基础上，我们将努力推动这些新技术、新算法的应用，将研究结果应用于地质灾害预测、大气污染控制等实际应用问题。

本课题研究若干具有重要应用背景的偏微分方程最优控制问题的有限元方法，重点研究对流占优方程最优控制、流体控制、控制或观测发生在低维流型上的最优控制、多尺度最优控制及非线性最优控制问题，研究这些最优控制问题数值方法的先验及后验误差估计、自适应有限元计算及应用等。我们主要完成了下述几方面的工作：(1)以数值天气预报为背景，研究对流占优最优控制及流体系统最优控制问题的数值计算，在对流扩散方程最优控制问题的不连续Galerkin方法、Stokes-Darcy方程最优控制问题的后验误差估计和高效自适应有限元算法以及Stokes方程特征值问题等方面取得了有意义的进展。(2)以地质灾害预测的数值计算为背景，研究相关最优控制问题。我们研究了控制或观测发生在低维流型上的最优控制问题及数值计算，系统分析了此类问题的正则性，得到了最优误差估计。我们还研究了椭圆方程边界观测和点态观测的参数反演问题、反柯西问题及非线性最优控制问题，针对问题的特殊性，构造了有限元、混合元、及带有奇异解的混合格式，分析了解的正则性及先验和后验误差估计，并在此基础上构造了高效自适应有限元算法。(3)以复合材料最优设计为背景，研究最优控制问题的多尺度计算。我们研究了控制受限的小周期振动系数椭圆方程最优控制问题的多尺度渐近分析和有限元计算，首次得到最优误差估计。在此基础上我们进一步研究了复合材料设计的多尺度有限元计算，设计了新的算法，进行了误差分析，并得到了合理的数值实验结果。此外，我们还研究了小周期振动系数的椭圆方程最优控制问题的多尺度混合元计算，得到了最优误差估计。(4)针对各类最优控制问题的实际需要，我们继续研究最优控制问题及有限元方法的快速算法，包括多水平校正有限元方法及超收敛分析等，在最优控制多水平校正有限元方法方面取得突破，为进一步研究打下了良好基础。在上述研究基础上，我们出版专著一本，发表学术论文16篇，SCI收录13篇，其中4篇论文发表在SIAM Numer. Anal. 等本学科国际顶尖杂志上。有关工作得到国内外同行关注，被多篇论文引用并引起相关后续研究工作。