状态受限最优控制问题的有限元方法

PDE-constrained optimal control problem is a hot research topic in the decades, a lot of achievements have been made from the viewpoint of optimal control theory, PDE-constrained optimization and numerical approximations for PDEs. State-constrained optimal control problem finds many real applications such as air pollution control in environmental science and product process in industry, it is among the most important problems in the study of optimal control problems which are not fully solved yet. Due to the existence of state constraints the solutions of state-constrained optimal control problems have less smoothness, which introduce many difficulties in both error analysis and numerical calculation,there are many problems remaining open. The aim of this project is to study some unsolved problems in this field and achieve some original results. At first, we will study the semilinear optimal control problems with state constraints based on direct finite element approximation or regularization method to deal with the state constraints, and derive the a priori error estimates for local solutions based on proper second order sufficient optimality conditions. Secondly, we will study the finite element approximations of parabolic optimal control problems with different types of state constraints and obtain optimal a priori error estimates. At last, we will study the a posteriori error estimates for state-constrained linear-quadratic elliptic and parabolic optimal control problems, the aim is to derive efficient and robust a posteriori error estimators to guide the adaptive finite element method.

偏微分方程约束的最优控制问题是近年来国际上研究的热点问题，引起了人们从最优控制理论、偏微分方程约束的优化以及偏微分方程数值解等各个角度的研究兴趣。状态受限的最优控制问题是其中一类非常重要的问题，在大气污染控制、产品加工成型等实际问题中有重要的应用，但状态约束条件的引入给相应最优控制问题解的正则性、误差分析及数值计算等带来了困难，目前有很多问题尚未解决。本项目拟研究状态受限的最优控制问题的有限元方法并争取得到创新性成果。首先对于半线性椭圆方程约束的状态受限问题，拟采用直接有限元离散或正则化方法来处理状态约束，在合适的二阶充分性条件下对局部解得到问题的先验误差估计。其次，研究具有不同种类状态约束的线性抛物最优控制问题的有限元逼近，争取得到最优的先验误差估计。最后，对线性椭圆和抛物方程约束的状态受限控制问题的有限元逼近进行后验误差分析，争取得到有效和可靠的后验误差估计子用以指导自适应有限元计算。

本项目名称为“状态受限最优控制问题的有限元方法”，项目起止年月为2013年1月至2015年12月。本项目拟研究偏微分方程约束最优控制问题的有限元方法，侧重于研究状态受限最优控制问题。项目执行三年以来，我们完成了项目申请书的大部分任务。项目申请书中列出的研究任务和目标得到了较好的执行和完成，取得了预期的进展，个别方向还需要进一步的后续研究来加强。我们同时在相关的偏微分方程最优控制的数值离散及算法设计领域进行了合理的扩展，关注了近年来的热点研究方向，并且在这些方向取得了重要进展。. 在状态受限最优控制问题的研究中，我们研究了具有点态状态约束的抛物方程最优控制问题，对时空全离散有限元逼近给出了最优的先验误差估计。对于状态约束最优控制问题有限元逼近的自适应有限元方法，我们目前正在进行Moreau-Yosida正则化问题及其有限元逼近的后验误差估计。在相关的偏微分方程约束最优控制问题的数值方法研究方面，我们在以下方面取得了重要进展：1）提出了一类新的求解椭圆方程最优控制问题的多水平校正算法；2）在一般性的框架下研究了椭圆方程和抛物方程约束的低维流形上的最优控制问题的理论及数值逼近；3）首次给出了抛物方程点态控制问题的有限元先验误差估计；4）首次给出了抛物方程Dirichlet边界控制问题的有限元方法的先验误差估计；5）首次严格证明了椭圆方程最优控制问题自适应有限元算法的收敛性，解决了这一长期悬而未决的问题；6）提出了一种新的求解发展方程最优控制问题的parareal算法。. 在项目执行期间，课题组共发表论文12篇，其中有4篇文章发表在控制领域以及数值分析与计算领域的顶级期刊上，如《SIAM J. Control Optim.》，《SIAM J. Numer. Anal.》，《SIAM J. Sci. Comput.》等。还有4篇标注资助的论文投稿到国际权威SCI期刊上。