预投射代数和高维丛范畴

研究预投射代数的极大Rigid模的自同态代数的倾斜理论、正交子范畴与高维丛范畴。利用组合同调技巧，借助于代数的倾斜模与正交子范畴，研究极大Rigid模的自同态代数的同调维数和表示范畴的整体结构，探索预投射代数的正交子范畴与高维丛范畴的联系，利用预投射代数的正交子范畴，研究高维丛范畴和高维丛倾斜代数的倾斜理论以及高维丛倾斜代数的表示维数，探索丛范畴与Ringel-Hall代数的联系。从表示论的角度，研究预投射代数的稳定范畴与Calabi-Yau范畴的内在联系；研究量子丛代数所对应的Ringel-Hall代数；研究量子丛代数的Hopf代数结构以及他们的余模结构在代数群的表示理论中的应用。.本项目所要研究的内容是国际表示论的主流领域和热点问题，有重要的理论意义。

预投射代数的表示理论与代数几何、Kleinan奇点理论、丛代数、李理论等诸多数学分关系密切，这些相关问题的研究是代数表示论方向的热点领域；Gelfand-Kirillov 维数有限的无限维Hopf 代数的分类和相关代数性质属于多领域交叉研究的新课题，有大量问题亟待解决。在国家自然基金项目“预投射代数和高维丛范畴”（批准号：11171183）支持下，该项目组在这些方向的研究中取得了一系列有重理论意义的新成果，在SCI收录的杂志上发表研究论文15篇。.项目负责人张顺华应用组合同调与代数几何的方法给出了重复丛范畴的丛倾斜代数的结构，推广了 A. Buan, R.Marsh R, I. Reiten 关于丛倾斜代数的结果；证明了遗传代数的m-重复代数的广义倾斜模的自同态代数都可以由BB-倾斜模的自同态代数实现，给出了代数闭域上遗传代数A的2阶三角矩阵代数T2(A)的表示维数的下界，改进了I.Reiten 等人的著名结果；证明了A型李代数的包络代数的正部分的PBW-基与Lusztig半典范基之间的转化矩阵是主对角线上元素为1的上三角矩阵，这类PBW-基是由Ringel-Hall代数的乘法给出的基，Lusztig的半典范基由预投射代数的表示簇确定。项目组主要成员王顶国主要研究了拟三角Hopf 代数结构性质与Hopf余代数的Ore扩张以及低维Gelfand-Kirillov -维数的Hopf代数的分类等问题，给出了Gelfand-Kirillov-维数是4的联通Hopf代数的分类，给出了Gelfand-Kirillov-维数为2的Hopf代数的分类。.项目组所取得上述研究成果受到国内外同行的关注，对进一步研究预投射代数与丛代数和李代数的关系有重要的应用，对进一步研究无限维Hopf代数的分类与Hopf代数的本原上同调有一定的引领作用。