模型结构、三角范畴与Calabi-Yau代数

In this project, we will take the Quillen equivalence and Bousfield localization of model categories, and monoidal model structures as the basic theoretical tools, to study triangulated categories and Calabi-Yau algebras. Established conclusions with respect to triangle-equivalence between homotopy categories of complexes and recollement of stable categories over triangular matrix algebras will be unified and generalized within the same framework of model structures and homotopy theories, so that problems on equivalences and recollements between homotopy categories of exact complexes can be solved, and derived equivalences and stable equivalences of rings can be described in the sense of Quillen equivalences. We will study monoidal model structures of categories of modules over group rings and differential graded modules, also for new applications in the computation of some homology invariants. Moreover, the model structures are used to characterize the Calabi-Yau algebras and the Calabi-Yau triangulated categories, to investigate when the model structure and the Calabi-Yau properties are compatible.

本项目将以模型范畴的Quillen等价和Bousfield局部化、monoidal模型结构等为基本理论工具，将模型结构与三角范畴和Calabi-Yau代数的研究结合起来。在模型结构及同伦理论的框架下统一并推广复形同伦范畴的三角等价、三角矩阵代数上稳定范畴的粘合等已知结论，解决正合复形的同伦范畴的等价和粘合等需要新方法的问题，并得到环的导出等价和稳定等价在Quillen等价意义下的刻画。拟研究群环的模范畴以及微分分次模范畴的monoidal模型结构，并在一些同调不变量的计算中找到新的应用。拟用模型结构刻画Calabi-Yau代数和Calabi-Yau三角范畴，研究模型结构与Calabi-Yau性质的相容性。

本项目以模型范畴的Quillen等价和Bousfield局部化等为基本理论工具，将模型结构与三角范畴的研究结合起来。在模型结构及同伦理论的框架下统一并推广了复形同伦范畴的三角等价、三角矩阵环上稳定范畴的粘合等已知结论。证明了忠实的Frobenius函子保持对象的Gorenstein投射性和Gorenstein投射维数；给出了由Forbenius函子诱导出两个范畴的Gorenstein投射对象的稳定范畴、奇点范畴、以及亏范畴分别是三角等价的充分必要条件；证明了Frobenius函子是Gorenstein投射模型范畴间的Quillen 等价的一个充分必要条件、Gorenstein投射对象的范畴是一个Waldhausen 范畴，应用Waldhausen的经典构造定义了Gorenstein K-理论，并通过有限维Artin代数的Morita型稳定等价计算了两个具体的有限维路代数的Gorenstein K-群，由此可发现同伦理论、K-理论、Gorenstein同调代数和有限维代数的表示论之间的联系。在群环的模范畴和微分分次模范畴中，自然地存在Frobenius函子，我们的结果可以应用到这两类范畴。证明了导出范畴是纯导出范畴的Verdier商范畴，引入并刻画了纯奇点范畴，比较了粘合中三个纯导出范畴的关系。讨论了Poisson代数上同调环的Gerstenhaber代数结构，以及平凡扩张代数的Poisson上同调和Poisson导子。该课题的顺利进展，对模型结构、三角范畴等领域的研究做出了有益的尝试，对研究生的培养做出了积极贡献。