箭图表示的 Hall 代数与范畴化

Xiao-Xu-Zhao gave the geometric version of a double Ringel-Hall algebra and its canonical basis by using the triangulated category of Weil complexes on the variety of representations of corresponding quiver. In this project, we shall study the modified form of this geometric version, its canonical basis and the categorifications of them, which is similar to the case of a modified quantized enveloping algebra. (1) Referring to the definition of a modified quantized enveloping algebra given by Lusztig, we shall give the definition of the modified form of this geometric version, find its generators and generating relations, and realize this modified form as the inverse limit of the tensor products of highest weight modules and lowest weight modules. (2) By using the canonical basis of this geometric version of a double Ringel-Hall algebra, we want to construct the canonical bases of highest weight modules, lowest weight modules, their tensor products and the modified form. (3) We shall study the Grothendieck group of the derived category of sheaves on the variety of framed representations of a quiver, build up a map between this Grothendieck group and the modified form, study the relation between the canonical basis and simple perverse sheaves and then give the categorifications of this modified form and its canonical basis.

肖杰-徐帆-申请人利用箭图模簇上的Weil复形的三角范畴定义了double Ringel-Hall代数的几何版本及其典范基. 类似量子群的变形体, 本项目拟研究此几何版本的变形体, 它的典范基以及它们的范畴化. (1)参考Lusztig定义量子群变形体的方法, 定义double Ringel-Hall代数几何版本的变形体, 找到它的生成元与生成关系, 并把它实现为double Ringel-Hall代数高权模和低权模张量的逆向极限; (2)利用double Ringel-Hall代数几何版本的典范基定义它的高权模和低权模及其张量的典范基, 进而给出变形体的典范基; (3)研究箭图framed表示构成的代数簇上层的导出范畴的Grothendieck群, 建立它和变形体之间的同态, 研究同态下典范基和单反常层的关系, 进而给出此变形体及其典范基的范畴化.

Lusztig研究了箭图表示的代数簇上的部分半单反常层构成的加法范畴，并利用该范畴的Grothendieck群实现了量子群的正部分。这时单反常层的同构类给出量子群正部分的典范基。在Lusztig工作的基础上，郑浩利用箭图的framed表示的代数簇上的层的导出范畴的一个商范畴的Grothendieck群实现了量子群的高权模。本项目推广了郑浩的结果。我们利用箭图的framed表示的代数簇上的函数空间的一个商空间实现了double Ringel-Hall代数的一个子代数的高权模。首先我们定义该商空间上的一些线性算子；然后证明这些线性算子满足double Ringel-Hall代数的一个子代数的生成关系；最后研究了该商空间中由最高权向量生成的子模和该子代数的高权模的关系。. 肖杰，徐帆和项目负责人推广了Lusztig的结果，利用箭图表示的代数簇上的Weil复形的导出范畴实现了Ringel-Hall代数的几何版本及其典范基。我们可以利用Ringel-Hall代数的几何版本定义double Ringel-Hall代数的子代数的几何版本。类似double Ringel-Hall代数的一个子代数的高权模的函数实现，我们可以利用箭图的framed表示给出的代数簇上的层的导出范畴的一个商范畴给出double Ringel-Hall代数的子代数的几何版本的高权模的几何实现。在郑浩工作的基础上，李毅强研究了另一个代数簇上的层的导出范畴的一个商范畴，给出了量子群的变形体的几何化。类似地，高权模的函数与层的实现对double Ringel-Hall代数的子代数的变形体的函数与层的实现也有很大帮助。. Schiffmann和Mellit研究了光滑曲线上的几何不可分解抛物型向量丛的个数，并给出了该个数的表达式，该表达式称为光滑曲线上的Kac多项式。由于Macdonald多项式是Kac多项式的一部分，计算Macdonald多项式给定项的系数的次数对计算Kac多项式的系数的次数有一定的帮助。为了计算Macdonald多项式给定项的系数的次数，需要研究Macdonald多项式组合公式中一个组合统计量的最大值问题。本项目给出了该组合统计量取最大值时对应的填充满足的条件和算法。