带非局部项的拟线性薛定谔方程的若干变分问题研究

In this project, we will use the variational methods to study the existence, multiplicity and concentration of solutions for the quasilinear Schrödinger equations with nonlocal term. We are interested in the following five problems:.(1).The existence, multiplicity and concentration of solutions for the quasilinear Schrödinger equations with nonlocal term with decay or sign-changing potential;.(2).The existence, multiplicity and concentration of solutions for the quasilinear Schrödinger equations with nonlocal term with local potential well;.(3).Multi-bump solutions for the quasilinear Schrödinger equations with nonlocal term;.(4).The existence, multiplicity and concentration of sign-changing solutions, especially nodal solutions;.(5).The existence, multiplicity and concentration of solutions for the equations with sub-lower-critical or upper-critical or super-upper-critical nonlinearity.

本项目拟使用变分方法研究带非局部项的拟线性薛定谔方程解的存在性、多重性及解的集中现象. 我们将重点关注以下五个问题:.（1）在衰减位势或变号位势下, 研究带非局部项的拟线性薛定谔方程解的存在性、多重性及解的集中现象;.（2）在局部井形位势下, 研究带非局部项的拟线性薛定谔方程解的存在性、多重性及解的集中现象; .（3）研究带非局部项的拟线性薛定谔方程的多包解问题; .（4）研究变号解的存在性、多重性及集中现象, 特别是节点解的相关问题; .（5）研究具次下临界增长或上临界增长或超上临界增长解的存在性、多重性及解的集中现象.

项目组在如下几方面开展了研究工作: 使用极小化方法研究了带非局部项的拟线性Schrodinger方程非平凡解的存在性; 在全局井形位势下, 使用变分方法和Ljusternik-Schnirelmann畴数理论研究了奇异扰动方程半经典解的存在性和多重性; 研究了不同情形下, 其它非局部方程, 如Kirchhoff型方程、分数阶Schrodinger方程、分数阶Choquard方程解的存在性、多重性及集中行为; 在与项目紧密相关的Schrodinger-Newton系统、Hamiltonian系统、Schrodinger-Poisson系统等变分问题解的存在性、多重性及集中行为方面也取得了新的进展. 在SCI期刊上发表论文19篇, 接受发表1篇, 在数学学报上发表论文1篇.