数值流形方法中的几个瓶颈问题

可涵盖广义有限元法和扩展有限元法的数值流形方法（NMM）是处理岩土力学连续和非连续问题的统一方法，正日益显示出其独特的优势。然而，实际应用中NMM也存在几个瓶颈问题亟待解决。其一是采用高阶覆盖所导致的线性相关问题，这也被NMM的发明者称为"钉子"问题；其二是接触的开-闭迭代和其它非线性迭代之间的迭代纠缠问题；其三是大变形Euler描述中的信息传递问题；等等。.本项目将研究NMM的变分法基础，应用矩阵的秩-1修正技术来开发由高阶覆盖所导致的线性相关方程组的高效稳定的直接算法；借助于有限维变分不等式方法来描述和求解接触问题，解决接触迭代和其它非线性迭代之间的迭代纠缠；通过将Euler节点不断转化为信息载体来建立大变形Euler描述中的信息传递机制，提高NMM大变形模拟的数值稳定性，并与边坡滑塌过程的室内大变形测试结果相比照。此项研究对于深化NMM的研究和应用具有重要的理论和实际意义。

数值流形法（NMM）是统一求解连续和非连续问题的新型数值分析方法，其它基于单位分解的现代数值分析方法，如有限元法（FEM）、广义有限元法（GFEM）、扩展有限元法（XFEM），无网格伽辽金法（EFGM），甚至是不连续变形分析法（DDA），等等，都可视作NMM的特例或退化。.通过此项研究，全面完成了当初所拟定的研究内容和研究目标，包括：1）提出了一个高效稳定的直接解法，用于求解因高阶多项式局部逼近而导致的线性相关方程组；同时，也构造了一个节点应力连续的、无线性相关三角形单元。2）利用移动最小二乘法（MLS）的节点支集来构造数学覆盖，建立了基于MLS的NMM，MLS-NMM，摆脱了大变形所导致的网格畸变。3）建立了不连续变形分析的变分不等式提法，从而无需再引入人工弹簧。4）开展了大型室内物理模拟试验，研究了大型水电边坡在复杂受力环境下的变形和稳定性演化规律。.除了上述规定研究内容之外，本项研究还在以下方面取得了进展：1）提出了利用NMM来换就非协调元的统一途径。这类非协调元有良好的数值特性，但对网格有特殊要求。2）对裂纹分析和裂纹扩展中的一些问题，如：扭结型裂纹位移场表示和1/r奇异积分处理等，建议了更加高效而精确的处理方法。3）给出了多裂纹扩展的互补问题，揭示了许多非常有趣的现象。4）利用MLS-NMM成功地求解了复杂的无压渗流问题。.上述成果已在多个高端和主流国际期刊上发表，三次应邀在国际重要学术大会上做大会报告或主题报告。发表SCI论文15篇，EI论文20篇（不完全统计），培养博士后2人、博士6人，硕士4人，获国际奖项1个。远远超出了计划任务书所拟定的定量指标。